２０１５年　第５４卷　第１期　　　　　　　　数学通报））拉力的分解；平抛运动

．１２　　（　　（

３１

上，还是从内容上，与前面学习的向量共线定理有很大的相似之处，请同学们对共线定理与平面向量基本定理进行类比．

设计意图　用类比的方法，学生更能体会到更能抓住定理的实质．另这两个定理的相同之处，

用类比的方法，更能加深学生对平面内的向量外，

设计意图　用物理背景印证猜想，一方面是为建立跨学科间的联系，突出数学与物理学之间的关系；另一方面，也是为了培养学生的应用意深化对定理的理解．但物理学中关于向量分解识，

作为数学学科，理应给予他理是通过实验得到的，论的支持．

理性思考　　环节４　解决问题，

教师演示　教师展示定理内容

平面向量基本定理　如果ａ，ｂ是同一个平面内的两个不共线的向量，那么对于这个平面内的有且只有一对实数λ，使得任意向量ｍ，μ，

之间的一一对应关系的理ａ与有序实数对（λλ１，２）

解，为向量的坐标表示做铺垫．加深认识　　环节５

　应用定理，

例１　已知矩形Ａ点Ｅ，ＢＣＤ，Ｆ分别是边

→→设Ａ以ａ，ＢＣ，ＣＤ的中点，Ｂ＝ａ，ＡＤ＝ｂ，ｂ作基底Ｅ→，→Ｆ→．来表示ＡＤＥ和Ｂ

设计意图　以两个垂直的向量基底作为例子，为下一节平面向量的坐标表示作铺垫．→→例２　如图，ＯＡ，ＯＢ不

→Ｂ→（，共线，用ＡＰ＝ｔＡｔ∈Ｒ）　→→Ｐ→．ＯＡ，ＯＢ表示Ｏ

设计意图　该例是教材中的一个例子，教师通过

说明该例中ｔ∈Ｒ的变化，

→→向量Ｏ无论Ｏ但总可以用不Ｐ在改变，Ｐ如何变化，→→加深学生是对平面向量共线的向量ＯＡ，ＯＢ表示，基本定理的理解．

例３　重为Ｇ的光滑球在倾角为３的斜面０°上，被与斜面夹角为６０°的挡板挡住时，求斜面与挡板所受的压力为多大？

设计意图　以一道

不但体现物理与数学的联系，更物理题作为例子，能体现数学的应用价值．

５　教学反思

教学是一门艺术，无论是教谁或者教什么内（容，教学决策首先要思考三个方面：教什么内１）（）容；学生将做什么来体现出学习行为已经发２（）生；教师将做什么来帮助学生学习．如果决策３

３］

出现错误，则学生的学习常常就会受阻［本教学．

ｍ＝λａ＋μｂ

其中不共线的向量ａ，ｂ叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

课堂再现　教师提出问题：平面内的任意向量都可以用我们事先给定的两个不共线的向量表示，那么这种表示是唯一的吗？

活动预设　存在、唯一性问题，学生在向量共线定理时已经接触，有了初步的认识，有解决该问题的基础．

设计意图　存在性容易证明，唯一性的证明有一定的难度，相对比较抽象，特别是唯一性的证明用到反证法，且最后的矛盾与共线定理有关，即：从共线到共面最后回到共线的思辨过程，有助学生对定理本质的认识，且有利于培养学生思辨能力．

向量共线定理

条件

给定一个非零向量ａ

平面向量基本定理给定两个不共线的向量ａ，ｂ

，对平面内任意向量ｍ，对任意向量ｂ（ｂ∥ａ）

结论

有且只有一个实数λ，有且只有一对实数λ，使得：

使得ｍ＝ａ＋ｂλμ，μ

“设计正是在深入思考了以上三个问题做出的，空数理间的联系”使向量具有了活力．所间的拓展，

以，教师必须让所教授的内容“活”起来，只有这样，才能使知识、能力可持续发展！

（下转第３７页）

ｂ＝ａλ

实质ｂλ

ｍ（λ，μ）

　　课堂再现　平面向量基本定理无论从形式

２０１５年　第５４卷　第１期　　　　　　　　数学通报准》的一个重要课程目标，解决数学问题的能力是具有数学素养的重要标志．ＣＰＭ教材每章都通过创设问题情境引导学生通过探究解决问题，在例题和习题部分贯穿问题解决，在课程中重点安排鼓励应用各种方法解决内容介绍问题解决策略，

用问题解决来培养学生的数学新的问题情境，思维．

强调数学交流６．３　注重数学探究，

弗莱登塔尔在《作为教育任务的数学》中指出“，学习数学的唯一正确方法是实行‘再创造’也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出

［２］

美国高中数学的焦点是推理与意义建构，来”．

３７

以最有效的方式传递数学教学过程中的各种信

３］

，息，又能强化教师、学生之间的互动［能较好的

改善学生的学习方式和教师的教学方式．对教材文本信息技术内容的分析可知，ＣＰＭ教材与现代在“探究”的例题和“自我检信息技术密切相关，

题当中，对各个问题的探究都依赖于计算器、测”

计算机、图形计算器、网络浏览器等工具的使用，学生可以使用计算器、计算机重复试验，模拟探究，最终得出结论并与同学分享、交流，使学生能够更深刻地理解数学、应用数学，从而增加学生动手实践、合作互助、主动探索的机会，较好地培养极大地丰富了学生进行数学了学生的数学能力，

４］

美国Ｃ探索的范围和质量［．ＰＭ教材还配有专

这指学生在新情境中运用数学工具与方法解决问题的能力，数学问题解决、推理与证明、交流等数数学探究作为培养学生自主学习、学过程的基础．

创新能力的重要途径，已成为一个颇受关注的研究问题．ＣＰＭ教材的正文是由一个个探究及一个个问题构成，整个课堂是个大型的探究课，包括探究背景、探究问题、探究过程、探究结论等．习题中部分还是学生之前也设置了大量的自主探究题，

没有学习的新知识，主要通过学生动手试验自己开放性程度高．教材不仅提倡对探学习得出结论，

究能力的培养，也注重对学生交流能力的培养，比如在每个探究后的总结环节中提出几个问题后，都会要求学生做好向全班同学解释自己方法的准备，在课后习题中也会有总结分享的要求．因此，数学探究和数学交流贯穿在整个教材当中，较好的培养了学生独立思考、动手解决问题、合作探究的能力，更培养了学生的创新能力和全面思考的能力．

培养数学能力６．４　整合信息技术，

信息技术与数学课程的整合越来越成为基础教育领域中一个颇受关注的问题，信息技术既能（上接第３１页）

另外，课堂教学不可忽视学生的主体地位，好的教学设计必须考虑学生的参与度，要让学生在整个探究知识的形成过教学环节中都主动积极参与、

程；教师也要充分认识学生的心理特征和知识结构，这样才能激发学生的学习兴趣和求知欲，让课堂焕发师生生命的活力，让课堂更精彩．

门的学习工具软件Ｃ其使用贯穿在整个教ＰＭＰ，教材在序言中也强调图形计算器的使学过程中．

用将贯穿整个课程，ＣＰＭＰ工具将为数学学习和问题解决提供强大的辅助功能，信息技术的使用以培养学生数学思维能力和解决问题的能力为核心．这也与《共同核心州立课程标准》中把数学工数学技术）的使用（如数学软件等）列为核心的具（

数学思维能力的要求是一致的．

参考文献

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