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复变函数与积分变换计东海

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第二章解析函数

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第一节

解析函数的概念函数解析的充要条件

复变函数的导数与微分解析函数柯西-黎曼条件

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一、复变函数的导数与微分1.复习一元实变函数在一点的导数的定义设函数 y= f ( x )在点 x0的某邻域| x x0|<ρ内有定义 .如果极限f ( x ) f ( x0 ) lim x→ x0 x x0

存在,则此极限值称为 f (x)在点 x0的导数,记作dy f′ ( x0 )或 dxx= x0

.

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一、复变函数的导数与微分x0 ρ

(x

x0

x )x+ρ x 0

考察极限f ( x ) f ( x0 ) lim x→ x0 x x0

是否存在?

yz z z0z zρ

z

考察极限f ( z ) f ( z0 ) lim z→ z0 z z0

O

x

是否存在?

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一、复变函数的导数与微分2.复变函数的导数的定义Def . 1函数ω= f ( z )是在复平面上的区域 D内有定义的单值函数,并且 z 0∈ D .如果 f ( z ) f ( z0 ) lim z→ z0 z z0

存在,则称 f ( z )在点 z 0可导,这个极限值称为 f (z)在

dω点 z0的导数,记作 f′ ( z 0 )或 dz

z= z0

.

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一、复变函数的导数与微分Def . 1′

函数ω= f ( z )是在复平面上的区域

D内有定义的单值函数,并且 z 0∈ D .令 z 0+ z∈ D,如果 f ( z0+ z ) f ( z0 ) lim z→ 0 z存在,则称 f ( z )在点 z 0可导,并将此极限值称为 f (z) dω在点 z0的导数,记作 f′ ( z 0 )或 z= z0 . dz Def . 2如果函数 f (z)在区域 D内处处可导,则称 f (z)在 D内可导 .

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一、复变函数的导数与微分f ( z )在点 z= z0可导

f ( z0+Δz ) f ( z0 )= f′ ( z0 )Δz+ρ(Δz )Δzlim其中Δz→0ρ(Δz )= 0. ( |ρ(Δz )Δz|= o(|Δz|),Δz→ 0)

3.复变函数的微分的定义设函数ω= f ( z )在点 z= z0可导,则称 f′ ( z0 )Δz(Δz≠ 0)为函数ω= f ( z )在点 z0的微分,记作 dω= f′ ( z0 )Δz

也称函数ω= f ( z )在点 z0可微 .

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复变函数可微的表述

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一、复变函数的导数与微分函数ω= f ( z )= z在点 z= 0可导,则此函数在点 z= 0的微分为dz= dω= f′ ( 0 )Δz=Δz f ( z )在点 z= z0的微分 dω= f′ ( z0 ) dz c dω f′ ( z0 )= z= z0 dz f ( z )在点 z= z0可导 f ( z )在点 z= z0可微

于是

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一、复变函数的导数与微分Ex . 1证明 f ( z )= z在 z平面上不可微 .

证明先证明 f ( z )在 z= 0不可微. f ( z ) f ( 0 ) z x iy==因为 z z x+ iy所以而f ( z ) f ( 0) x iy lim= lim z→0 x→ 0 x+ iy z y→0o

y

z

z

z

x

f ( z ) f ( 0) x= lim= 1 lim z→0 x→0 x z y=0 f ( z ) f ( 0) iy= lim= 1. lim z→0 y→ 0 iy z x=0

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一、复变函数的导数与微分f ( z ) f ( 0)不存在.故 lim z→0 z即 f ( z )= z在点 z= 0不可微.再证明 f ( z )在任一点 z≠ 0不可微. f ( z+

Δz ) f ( z )Δz z z+Δz z= lim= lim lim= limΔz→ 0Δ z z→0 zΔz→ 0Δz→ 0ΔzΔz

不存在.因而 f ( z )在任一点 z≠ 0不可微.综上 f ( z )= z在 z平面上不可微 .

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一、复变函数的导数与微分3.复变函数的求导法则如果 f (z)和 g(z)都可导,那么

[ f (z )± g (z )]

′

= f′( z )± g′( z )

f ( z ) g ( z ) = f′ ( z ) g ( z )+ f ( z ) g′ ( z ) f (z) f′ ( z ) g ( z ) f ( z ) g′ ( z ), g( z )≠ 0 = 2 g (z) g(z) ′

′

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二、解析函数Def . 3如果 f (z)在点 z0的某邻域内可导,那么称 f (z)在点 z0解析 .

f (z)在点 z0解析 c f (z)在点 z0的某邻域内可导函数 f ( z )在点 z0解析

z0

函数 f ( z )在点 z0可导

如果 f (z)在点 z0不解析,那么称点 z0为 f (z)的奇点.

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二、解析函数Def . 4如果 f (z)在区域 D内每一点都解析,那么称 f (z)在区域 D内解析 .或称 f (z)是 D内的一个解析函数 (全纯函数或正则函数 ) . z0

f (z)在区域 D内解析c

f (z)在区域 D内可导

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二、解析函数Def . 5

D上每一点都属于 G,则称 f ( z )在 D上解析 .D结论

函数 f ( z )在区域 G内解析,而闭区域

G

设函数 f ( z )及 g ( z )在区域 D内解析, f (z ) ( g ( z )≠ 0 )也在 D则 f ( z )± g ( z ), f ( z ) g ( z )以及 g(z )内解析 .而且′[ f ( z )± g ( z )]= f′( z )± g′( z )

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二、解析函数 f ( z ) g ( z ) = f′ ( z ) g ( z )+ f ( z ) g′ ( z ) ′ f (z) f′ ( z ) g ( z ) f ( z ) g′ ( z ), g( z )≠ 0 = 2 g (z) g(z) ′

结论 (复合函数的解析性 )设 = f ( z )在 z平面上的区域 D内解析,ω= F ( )在ω平面上的区域 D1内解析,而且当内解析,并且

z∈ D时, = f ( z )∈ D1,那么ω= F[ f ( z )]在 D d F[ f ( z )] d F ( ) d f ( z )= dz d dz

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二、解析函数例多项式 P ( z )= a+ a z+ a z2+L+ an zn 0 1 2在 z平面上解析,且 P′( z )= a+ 2a z+L+ nan zn 1 1 2有理分式函数P ( z ) a 0+ a1 z+ a 2 z 2+ L+ a n z n= Q ( z ) b0+ b1 z+ b2 z 2+ L+ bm z m an≠ 0 bm≠ 0

除去使分母为零的点外是解析的.以下我们来探求如何用复变函数的实部和虚部刻划它的可微性.

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复习有关内容

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三、柯西 -黎曼条件设函数 f ( z )= u ( x, y )+ iv ( x, y )在区域 D内有定义.那么 f ( z )在点 z= x+ i y可微的必要与充分条件是:在点 ( x, y ), u ( x, y )及 v ( x, y )可微,并且定理1 u v u v,== x y y x

( 3.1)

柯西-黎曼条件证明必要性假设 f ( z )在点 z= x+ i y可微,则有f ( z+Δz ) f ( z )= f′ ( z )Δz+ηΔzΔz→ 0

其中 limη= 0.

( 3.2 )

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三、柯西 -黎曼条件

f ( z+Δz ) f (

z )= f′ ( z )Δz+ηΔz

( 3.2 )

令Δz=Δx+ iΔy, f′ ( z )= a+ ib,η=η1+ iη2,则 ( 3.2 )可写成[u( x+Δx, y+Δy ) u( x, y )]+ i[v ( x+Δx, y+Δy ) v ( x, y )]= ( aΔx bΔy+η1Δx η2Δy )+ i ( bΔx+ aΔy+η2Δx+η1Δy )由此得到Δu u( x+Δx, y+Δy ) u( x, y )= aΔx bΔy+η1Δx η2ΔyΔv

= ( a+ ib)(Δx+ iΔy )+ (η1+ iη2 ) (Δx+ iΔy )

v ( x+Δx, y+Δy ) v ( x, y )= bΔx+ aΔy+η2Δx+η1Δy limη1= 0, limη2= 0.Δx→ 0Δy→ 0Δx→ 0Δy→ 0