三角函数以及极限公式整合三角函数以及极限公式整合三角函数以及极限公式整合三角函数以及极限公式整合

若同一极限过程的无穷小量 ~ ， ~ ，且lim

存在，则

lim

f(x) g(x)

lim

f(x) g(x)

常用等价无穷

小

(lim 0)

sin tan arcsin arctan ln(1 )e

1

21

1 cos ~

2

1

1~

2 ~

1

1n

(1 ) 1~n

a 1~ lna

注意：（1）无论极限过程，只要极限过程中方框内是相同的无穷小就可替换；

（2）无穷小的替换一般只用在乘除情形，不用在加减情形； （3）等价无穷小的替换对复合函数的情形仍实用，即

若limf( ) f(0)， ~ ，则f( )~f( )

4. 极限运算法则（设 limf(x) A，limg(x) B） （1） lim f(x) g(x) limf(x) limg(x) A B （2） lim f(x) g(x) limf(x) limg(x) A B

特别地，lim Cf(x) Climf(x)，lim f(x) limf(x) An

n

n

（3） lim

f(x)g(x)

limf(x)limg(x)

AB

(B 0)

5.准则与公式（lim 0，lim 0） 准则1：（夹逼定理）若 (x) f(x) (x)，则

lim (x) lim (x) A limf(x) A

准则2：（单调有界数列必有极限）

若 xn 单调，且xn M（M 0），则limxn存在（ xn 收敛）

n

准则3：（主部原则）

lim

o( ) o( )

lim

； lim

1 o1( 1) 2 o1( 2)

lim

o1( 1)o1( 2)