体积、面积计算公式

时间：2025-03-10

圆柱

圆柱体的体积公式：体积=底面积×高，如果用h代表圆柱体的高，则圆柱=S底×h=πr² ×h,或S=πr的平方h。

编辑本段棱柱

长方体

长方体的体积公式：体积=长×宽×高。（底面积乘以高 S底·h）如果用a、b、c分别表示长方体的长、宽、高则

长方体体积公式为：V长=abc。

正方体

正方体的体积公式：体积=棱长×棱长×棱长。（底面积乘以高 S底·h) 如果用a表示正方体的棱长，则

正方体的体积公式为V=a·a·a=a^3。

编辑本段锥体

常规公式

锥体的体积=底面面积×高×三分之一。

圆锥=底面积×高×三分之一。

三棱锥的坐标体积公式

三棱锥是立体空间中最普通最基本的图形，正如三角形之于二维空间。已知空间内三角形三顶点坐标A(a1,a2,a3)，B(b1,b2,b3)，

C(c1,c2c3)，O为原点，则三棱锥O-ABC的体积V=∣

（a1b2c3+b1c2a3+c1a2b3-a1c2b3-b1a2c3-c1b2a3)∣/3。

编辑本段台体

台体体积公式:V=[ S上+√(S上S下)+S下]h÷3。

圆台体积公式:V=[S+S′+√(SS′)]h÷3=πh(R^2+Rr+r^2)/3。编辑本段球体

球

球缺体积公式=(π/3)(3R-h)*h^2。

球体积公式：V=(4/3)πR^3。

椭球

椭球在xyz-笛卡儿坐标系中的标准方程是：{x^2 / a^2}+{y^2 / b^2}+{z^2 / c^2}=1 ，其体积是V= (4/3)πabc 。(a与b,c分别代表各轴的一半)

面积公式包括

扇形面积公式

在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S=πR^2，所以圆心角为n°的扇形面积：

S=nπR²÷360

比如：半径为1cm的圆，那么所对圆心角为135°的扇形的周长： C=2R+nπR÷180 =2×1+135×3.14×1÷180 =2+2.355 =4.355(cm)=43.55(mm) 扇形的面积： S=nπR²÷360 =135×3.14×1×1÷360 =1.1775(cm²)=117.75(mm²) 扇形还有另一个面积公式

S=1/2lR

其中l为弧长，R为半径

扇环面积

圆环周长:外圆的周长+内圆的周长(圆周率X(大直径+小直径)) 圆环面积:外圆面积-内圆面积(圆周率X大半径的平方-圆周率X小半径的平方\圆周率X(大半径的平方-小半径的平方))

用字母表示：

S内+S外（∏R方） S外—S内=∏(R方-r方）还有第二种方法： S=π[(R-r)×(R+r)] R=大圆半径 r=圆环宽度=大圆半径-小圆半径还有一种方法：已知圆环的外直径为D，圆环厚度（即外内半径之差）为d。 d=R-r， D-d=2R-（R-r）=R+r，

可由第一、二种方法推得 S=π[(R-r)×(R+r)]=π(D-d)×d，圆环面积S=π(D-d)×d

这是根据外直径和圆环厚度（即外内半径之差）得出面积。这两个数据在现实易于测量，适用于计算实物，例如圆钢管。

编辑本段三角形面积公式

海伦公式

任意三角形的面积公式（海伦公式）：S²=p(p-a)(p-b)(p-c), p=（a+b+c）/2, a.b.c为三角形三边。

证明：证一勾股定理

分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。

证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得: x = y = ha = = = ∴ S△ABC = aha= a× = 此时S△ABC为变形④，故得证。

证二：斯氏定理

分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。

斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D，若BD=u，DC=v,AD=t.则 t 2 = 证明：由证一可知，u = v = ∴ ha 2 = t 2 = － ∴ S△ABC = aha = a × = 此时为S△ABC的变形⑤，故得证。

证三：余弦定理

分析：由变形② S = 可知，运用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 对其进行证明。

证明：要证明S = 则要证S = = = ab×sinC 此时S = ab×sinC为三角形计算公式，故得证。

证四：恒等式分析：考虑运用S△ABC =r p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○

那么 tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1 证明：如图，tg = ① tg = ② tg = ③ 根据恒等式，得： + + = ①②③代入，得： ∴r2(x+y+z) = xyz ④ 如图可知：a+b－c = (x+z)+(x+y)－(z+y) = 2x ∴x = 同理：y = z = 代入 ④，得： r 2 · = 两边同乘以，得： r 2 · = 两边开方，得： r · = 左边r · = r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①，故得证。

证五：半角定理半角定理：tg = tg = tg = 证明：根据tg = = ∴r = × y ① 同理r = × z ② r = × x ③ ①×②×③,得： r3 = ×xyz 坐标面积公式

1：△ABC，三顶点的坐标分别为 A(a1,a2),B(b1,b2)C(c1,c2), S△ABC=∣a1b2+b1c2+c1a2-a1c2-c1b2-b1a2∣/2.

2:空间△ABC，三顶点的坐标分别为

A(a1,a2,a3),B(b1,b2,b3)C(c1,c2c3),面积为S，则

S²=

（a1b2+b2c2+c1a2-a1c2-c1b2-b1a2)²+(a2b3+b2c3+c2a3-a2c3-c2b3-b2a3)²+

(a1b3+b1c3+c1a3-a1c3-c1b3-b1a3)².

编辑本段圆面积公式

设圆半径为：r, 面积为：S . 则面积 S= π·r² ; π 表示圆周率即圆面积等于圆周率乘以圆半径的平方即 S=πr^2

编辑本段弓形面积公式

设弓形AB所对的弧为弧AB，那么：

当弧AB是劣弧时，那么S弓形=S扇形－S△AOB（A、B是弧的端点，O是圆心）。