线性空间综述

设V是一个非空集合，F是一个数域，在集合V的元素之间定义一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V中任意两个元素x和y，在V中都有唯一的一个元素z与他们对应，称为x与y的和，记为z=x+y．在数域F与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域F中任一数k与V中任一元素x，在V中都有唯一的一个元素y与他们对应，称为k与x的数量乘积，记为y=kx。如果加法与乘法还满足下述规则，那么V称为数域F上的线性空间．

1. V对加法成Abel群，即满足：

（1）（交换律）x+y=y+x；

（2）（结合律）（x+y）+z=x+（y+z）

（3）（零元素）在V中有一元素0，对于V中任一元素x都有x+0=x；

（4）（负元素）对于V中每一个元素x，都有V中的元素y，使得x+y=0；

2. 数量乘法满足：

（5）1x=x；

（6）k(lx)=(kl)x；

3. 数量乘法和加法满足：

（7）（k+l）x=kx+lx；

（8）k（x+y）=kx+ky．

其中x，y，z为V中任意元素，k，l为数域F中的任意元素，1是F的乘法单位元。 数域F称为线性空间V的系数域或基域，F中元素称为纯量或数量（scalar），V中元素称为向量（vector）。

当系数域F为实数域时，V称为实线性空间。当F为复数域时，V称为复线性空间。

4、简单性质

（1）V中零元素（或称0向量）是唯一的。

（2）V中任一向量x的负元素（或称负向量）是唯一的。

（3）kx=0（其中k是域F中元素，x是V中元素）当且仅当k=0或x=0。

（4）(-k)x=-(kx)=k(-x)。