线性空间综述

高等工程数学

一、 线性空间的综述

1、线性空间相关定义

简单的说，线性空间是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实数也可以是复数，也可以是任意给定域中的元素）相乘后得到此集合内的另一元素。

2、域的概念 设F是一个非空集合，在F中定义加法和乘法两种运算，且这两种运算对F来说是封闭的，也就是说，对F中的任意两个元素a，b，a+b和ab仍属于F，如果加法和乘法运算满足以下运算规则，则称F对所规定的加法和乘法运算作成一个域：

1.（加法交换律）对F中任意两个元素a，b，有

a+b=b+a

2.（加法结合律）对F中任意三个元素a，b，c，有

(a+b)+c=a+(b+c)

3.（存在0元）F中存在一个元素，我们把它记作0，使得对F中的任意元素a，有

a+0=a

4.（存在负元）对F中的任意元素a，在F中存在一个元素，我们把它记作-a，有 a+(-a)=0

5.（乘法交换律）对F中任意两个元素a，b，有

ab=ba

6.（乘法结合律）对F中任意三个元素a，b，c，有

(ab)c=a(bc)

7.（存在单位元）F中存在一个≠0的元素，我们把它记作e，使得对F中的任意元素a，有

ae=a

8.（存在逆元）对F中任意≠0的元素a，在F中存在一个元素，我们把它记作a‘(因为这里显示不了a的负一次方，所以用a’代替)，有

aa'=e

9.（乘法对加法的分配律）对F中任意三个元素a，b，c，有

a(b+c)=ab+ac

常见的域有：复数域C、实数域R、有理数域Q，但是自然数集N和整数集Z都不是域。

3、线性空间定义：