实数连续性循环证明及相互证明(13)

实数连续性循环证明及相互证明

四．在证明过程中发现的结论

1．从用有限覆盖定理证明紧致性定理和用确界定理证明紧致性定理中，我们都证明了一个结论：若

x0 [a，b]， 0,,(x0

,x0 )中必含有xn的无限多项，则存在{xnk}为

{xn}的子数列且收敛于x0。而我们发现，其实这是一个充分必要条件。

将其推广到数集上，我们正是得到数集聚点的两个等价定义，即 ① 设S是数集，C是一定数， 0,， (c ,c )

C为S的一个聚点。

包

S的无限多个点，则称

limxn=c ， ② 数列{xn}且xn互不相同，使 n

用类似证数列的方法即可证明。 证明（① ②）由已知可得 取 1=1，取得 取

0, (c ,c )内包含有一个异于C的点，记为x ,

x=x1

1

2

），取得x=x2 ，如此继续下去。

2=min（|x1-c|，

取 k=min（|0 n（②

xk 1-c|，

1k

），取得

x=xk，得到一数列{xn} S，且xn互不相同，

|xn-c|

1

，∴，得令n ， limxn= r

n n

，只要n＞N，有

①）∵ limxn= r ∴ 0, N

n

xn

-c|

，即

(c ,c )内包含xn的无限多项。∵xn

S，即包含S的无限多个点。

用类似证紧致性定理的方法也便可证以下的不斯特拉斯聚点定理。 聚点定理：直线上的有界无限点集S至少有一个聚点。 证明：∵ S有界，∴

M 0，使S [-M，M]，记a1=-M，b1=M，二等分[a1，b1]，

则必有一区间包含S的无限多个点，记该区间为[a2，b2]， 如此继续下去，我们得到一区间套{[an，bn]}，每个区间[an，bn]内含有S 的无限多个点，由区间套定理，得 唯一的r ∴

[a

n 1

n

liman=limbn= c。 ,bn]，使n

n

0, N，当n＞N，使c an c bn c

∵ [an，bn]内含有S 的无限多个点，∵[an，bn] (c ,c )， ∴ (c ,c )包含S的无限多个点，∴ C是S的一个聚点。定理证完。 可见，紧致性定理是聚点定理的推论。

2．由单调有界定理证明紧致性定理的第二种证法，我们可以得出结论：任何数列都有单调子数列。有界数列已证。而无界数列也有单调子数列。事实上，对无界数列{xn}， M 0， n，有|xn| M。