实数连续性循环证明及相互证明

关于实数连续性的基本定理

以上的定理表述如下：

实数基本定理：对R的每一个分划A|B，都 唯一的实数r，使它大于或等于下类A中的每一个实数，小于或等于上类B中的每一个实数。

确界定理:在实数系R内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在。 单调有界原理:若数列{xn}单调上升有上界，则{xn}必有极限。 区间套定理:设｛[an,

bn]｝是一个区间套,则必存在唯一的实数

r,使得r包含在所有的区间里,即

r [an,bn]。

n 1

有限覆盖定理:实数闭区间[a,b]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖。 紧致性定理：有界数列必有收敛子数列。

柯西收敛定理：在实数系中，数列{xn}有极限存在的充分必要条件是：

0, N,当n N,m N时，有|xn xm| 。

这些定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。那么，它们在证明过程中有哪些联系？作为工具，它们又各具有什么特点？以下先给出它们的等价证明。

（二）实数基本定理的等价证明

一．用实数基本定理证明其它定理

1．实数基本定理→单调有界定理

证明：设数列{xn}单调上升有上界。令B是数列{xn}全体上界组成的集合，即B={b|xn b, n}, 而A=R﹨B，则A|B是实数的一个分划。事实上，由单调上升{xn}，故x1-1 A，即A不空，由A=R﹨B，知A、B不漏。又对任给a A，b B，则存在n0，使a

xn0 b，即A、B不乱。故A|B是实数的一个分

有a r b。

划。根据实数基本定理， r R,使得对 a A，b B，下证lim

n

xn=r。事实上，对

0,由于r A，知 N，使r xn，又{xn}单调上升， 当n N时，有r xN xn。

r

2

b,便有xn r

，

当n N时，有r xn r

2

2

于是，|xn-r|

limxn=r。 ， n