切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理1
时间:2025-02-22
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切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
1.切线长概念
切线长是在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长度,“切线长”是切线上一条线段的长,具有数量的特征,而“切线”是一条直线,它不可以度量长度。
2.切线长定理
对于切线长定理,应明确(1)若已知圆的两条切线相交,则切线长相等;(2)若已知两条切线平行,则圆上两个切点的连线为直径;(3)经过圆外一点引圆的两条切线,连结两个切点可得到一个等腰三角形;(4)经过圆外一点引圆的两条切线,切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补;(5)圆外一点与圆心的连线,平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角:顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P,PC、PD为弦,图中几个弦切角呢?(四个)
4.弦切角定理:弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角:圆周角,圆心角,弦切角,圆内角,圆外角。
6.遇到圆的切线,可联想“角”弦切角,“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段
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定理 图形 已知 结论 证法
相交弦定⊙O中,AB、CD为弦,交PA·PB=PC·PD. 连结AC、BD,证:
理 于P. △APC∽△DPB.
相交弦定⊙O中,AB为直径,CD⊥ABPC2=PA·PB. 用相交弦定理.
理的推论 于P.
切割线定⊙O中,PT切⊙O于T,PT2=PA·PB 连结TA、TB,证:
理 割线PB交⊙O于A △PTB∽△PAT
切割线定PB、PD为⊙O的两条割线,PA·PB=PC·PD 过P作PT切⊙O于T,用
理推论 交⊙O于A、C 两次切割线定理
一、选择题
1.已知:PA、PB切⊙O于点A、B,连结AB,若AB=8,弦AB的弦心距3,则PA=( )
A. B. C. 5 D. 8
2.下列图形一定有内切圆的是( )
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.梯形
3.已知:如图1直线MN与⊙O相切于C,AB为直径,∠CAB=40°,则∠MCA的度数( )
图1
A. 50° B. 40° C. 60° D. 55°
4.圆内两弦相交,一弦长8cm且被交点平分,另一弦被交点分为1:4,则另一弦长为( )
A. 8cm B. 10cm C. 12cm D. 16cm
2
5.在△ABC中,D是BC边上的点,AD
那么DE长等于( )
A. ,BD=3cm,DC=4cm,如果E是AD的延长线与△ABC的外接圆的交点, B.
C. D.
6. PT切⊙O于T,CT为直径,D为OC上一点,直线PD交⊙O于B和A,B在线段PD上,若CD=2,AD=3,BD=4,则PB等于( )
A. 20 B. 10 C. 5 D.
二、填空题
7. AB、CD是⊙O切线,AB∥CD,EF是⊙O的切线,它和AB、CD分别交于E、F,则∠EOF=_____________度。
8.已知:⊙O和不在⊙O上的一点P,过P的直线交⊙O于A、B两点,若PA·PB=24,OP=5,则⊙O的半径长为_____________。
9.若PA为⊙O的切线,A为切点,PBC割线交⊙O于B、C,若BC=20,,则PC的长为_____________。
10.正△ABC内接于⊙O,M、N分别为AB、AC中点,延长MN交⊙O于点D,连结BD交AC于P,则_____________。
三、解答题
11.如图2,△ABC中,AC=2cm,周长为8cm,F、K、N是△ABC与内切圆的切点,DE切⊙O于点M,且DE∥AC,求DE的长。
图2
3
12.如图3,已知P为⊙O的直径AB延长线上一点,PC切⊙O于C,CD⊥AB于D,求证:CB平分∠DCP。
图3
13.如图4,已知AD为⊙O的直径,AB是⊙O的切线,过B的割线BMN交AD的延长线于C,且BM=MN=NC,若AB
求⊙O的半径。
,
图4
4
【试题答案】 一、选择题
1. A 2. C 3. A 4. B 5. B 6. A
二、填空题
7. 90 8. 1 9. 30 10.
三、解答题:
11.由切线长定理得△BDE周长为4,由△BDE∽△BAC,得DE=1cm
12.证明:连结AC,则AC⊥CB
∵CD⊥AB,∴△ACB∽△CDB,∴∠A=∠1
∵PC为⊙O的切线,∴∠A=∠2,又∠1=∠2,
∴BC平分∠DCP
13.设BM=MN=NC=xcm
又∵
∴
又∵OA是过切点A的半径,∴OA⊥AB即AC⊥AB
在Rt△ABC中,由勾股定理,得, 由割线定理:,又∵
∴
∴半径为。
5