微积分习题详细答案

微积分第五章习题详细答案

习题五 答案

（A）

1．求函数

解：f (x)

f(x)

f(x)，使f (x) (x 2)(3 x)

，且

f(1) 0

.

x 5x 6

52

2

236

13

x 13

52

3

x 6x C

2

f(1) 0

13

52

6 C 0 C

236

f(x) x

3

x 6x

2

2．一曲线y

解：f (x)

f(x)

14

2

f(x)过点（0，2），且其上任意点的斜率为

12

x 3e

x

，求

f(x)

.

12

x 3e

x

x

x 3e C

f(0) 2 3 C 2 C 1

f(x)

14

x 3e 1

2

x

3．已知 解：

f(x) (e

x2

f(x)的一个原函数为e

x2

，求

f (x)dx

.

) 2xe

x2

2

x

f (x)dx f(x) C 2xe C

4．一质点作直线运动，如果已知其速度为数关系.

dxdt

3t sint

2

，初始位移为s0

2

，求s和t的函

解：S(t) 3t2 sint S (t) t cost C

S(0) 2 1 C 2 C 1

3

S(t) t cost 1

3

微积分第五章习题详细答案

5．设 ln 解： ln

f(x)

11 x

2

，求f(x).

f(x)

11 x

2

lnf(x) arctanx C1

f(x) e

arctanx C1

Ce

arctanx

(C 0)

6．求函数

解：f (x)

12

f(x)，使f (x)

11 x

11 x

2

e

2x

5

且

f(0) 0

.

11 x

e

12

2x

5 f(x) lnx 1 arcsinx

12

e

2x

5x C

f(0) 0 0 0 C 0 C

12

12

f(x) lnx 1 arcsinx e

2x

5x

7．求下列函数的不定积分 （1） （3） （5） （7） （9）

x x

x

2

dx

（2）

dta(t 1)x 1x 1

22

m

xdx

42

n

（4） （6）

dx

dx

dx

x 1x 1

dx

1 sin2xsinx cosx

cos2xsinx cosx

（8）

1 cosx1 cos2x

x2

2

dx

2

sin

cos2x

2

xcosx

2

dx

（10） cos2 （12） （14）

e

2xx

sin

x dx

（11）

sin

x

cos2x 1

2

xcosx

x

x

2

dx

1

dx

e 12

x 1

dx

（13） （15）

2 8 3 5

8

x-x

dx

5

x

x 1

10

x

e(x e)

x

dx

（16） (ex

（18）

2)(1 3)dx

x

（17）

1 x1 x

1 x dx1 x

(x 1)1 x

x x

22

5x

dx

2

（19）

1 x x

2

x

4

（20）

1 cosx1 cosx sin

2

2

2

dxx

微积分第五章习题详细答案

（21）

x x 1x(1 x)

2

2

3

dx

（22）

x x1 x

2

42

dx

13

解：（1）= (x2（2）=

1a.

x2)dx

23

3

x2

1

25

5

x2 C

d(t 1)

1

2a

(t 1)2 C

(t 1)2

nn m

mm

xm C m n , m 0 xdx

n m

n

（3）= xmdx lnx C m n

dx x C m 0

（4）=

2

1 2 dx x 2arctanx C

x 1

1x 1

2

（5）= （6）= （7）= （8）= （9）=

(x 1)(x 1) 2

x 1

sin

2

2

22

2

(x

2

1)dx 2

2

dx

x

3

3

x 2arctanx C

x cosx 2sinxcosx

sinx cosx

dx

(sinx cosx)sinx cosx

= (sin

x cosx)dx sinx cosx C

cosx sin

22

x

sinx cosx1 cosx2cosxcosx sinsin

2

2

2

2

22

dx 12

(cosx sinx)dx=sinx cosx C

12

14

dx

x

11x

1 dx tanx C 2

22 cosx

dx

xcosx

1 1

22

sinxcosx dx cotx tanx C

（10）= (（11）=

cosx 1

2

2

2

1 cos2x

2

2

)dx

cosxcos2x

1 dx=x 2

2

sinx sin2x C

cosx sinx cosx sin

2

2

x

sinxcosx

2

2

cos

1

2

dx 2tanx Cx

（12）= ex

1dx e x C

x

x

5

x

8 5

（13）=2dx 3 dx 2x 3 C

5 8

ln 8

1 1

（14）=2 dx

5 5

x

2 x1 1 x

5 2 C dx ln55ln2 2

x

（15）= ex

1 x

dx e lnx Cx

微积分第五章习题详细答案

（16）= e（17）=

x

6 2 (3e)dx e

xxx

x

2

x

ln2

(3e)

x

l ln3

6

x

ln6

C

1 x 1 x

x

2

dx 2

1 x

2

dx 2arcsinx C

（18）= （19）=

x2 1 x

5 x

2

dx 1x2 lnx 5arcsinx C 2

11 x

22

dx arcsinx C

（20）= （21）= （22）=

1 cosx2cosx

2

dx

12

11x

1 dx tanx C 2

22 cosx 11 1

2 2

x1 x x

x(x 1) 1x(1 x)

4