微积分习题详细答案
时间:2025-07-11
时间:2025-07-11
微积分第五章习题详细答案
习题五 答案
(A)
1.求函数
解:f (x)
f(x)
f(x),使f (x) (x 2)(3 x)
,且
f(1) 0
.
x 5x 6
52
2
236
13
x 13
52
3
x 6x C
2
f(1) 0
13
52
6 C 0 C
236
f(x) x
3
x 6x
2
2.一曲线y
解:f (x)
f(x)
14
2
f(x)过点(0,2),且其上任意点的斜率为
12
x 3e
x
,求
f(x)
.
12
x 3e
x
x
x 3e C
f(0) 2 3 C 2 C 1
f(x)
14
x 3e 1
2
x
3.已知 解:
f(x) (e
x2
f(x)的一个原函数为e
x2
,求
f (x)dx
.
) 2xe
x2
2
x
f (x)dx f(x) C 2xe C
4.一质点作直线运动,如果已知其速度为数关系.
dxdt
3t sint
2
,初始位移为s0
2
,求s和t的函
解:S(t) 3t2 sint S (t) t cost C
S(0) 2 1 C 2 C 1
3
S(t) t cost 1
3
微积分第五章习题详细答案
5.设 ln 解: ln
f(x)
11 x
2
,求f(x).
f(x)
11 x
2
lnf(x) arctanx C1
f(x) e
arctanx C1
Ce
arctanx
(C 0)
6.求函数
解:f (x)
12
f(x),使f (x)
11 x
11 x
2
e
2x
5
且
f(0) 0
.
11 x
e
12
2x
5 f(x) lnx 1 arcsinx
12
e
2x
5x C
f(0) 0 0 0 C 0 C
12
12
f(x) lnx 1 arcsinx e
2x
5x
7.求下列函数的不定积分 (1) (3) (5) (7) (9)
x x
x
2
dx
(2)
dta(t 1)x 1x 1
22
m
xdx
42
n
(4) (6)
dx
dx
dx
x 1x 1
dx
1 sin2xsinx cosx
cos2xsinx cosx
(8)
1 cosx1 cos2x
x2
2
dx
2
sin
cos2x
2
xcosx
2
dx
(10) cos2 (12) (14)
e
2xx
sin
x dx
(11)
sin
x
cos2x 1
2
xcosx
x
x
2
dx
1
dx
e 12
x 1
dx
(13) (15)
2 8 3 5
8
x-x
dx
5
x
x 1
10
x
e(x e)
x
dx
(16) (ex
(18)
2)(1 3)dx
x
(17)
1 x1 x
1 x dx1 x
(x 1)1 x
x x
22
5x
dx
2
(19)
1 x x
2
x
4
(20)
1 cosx1 cosx sin
2
2
2
dxx
微积分第五章习题详细答案
(21)
x x 1x(1 x)
2
2
3
dx
(22)
x x1 x
2
42
dx
13
解:(1)= (x2(2)=
1a.
x2)dx
23
3
x2
1
25
5
x2 C
d(t 1)
1
2a
(t 1)2 C
(t 1)2
nn m
mm
xm C m n , m 0 xdx
n m
n
(3)= xmdx lnx C m n
dx x C m 0
(4)=
2
1 2 dx x 2arctanx C
x 1
1x 1
2
(5)= (6)= (7)= (8)= (9)=
(x 1)(x 1) 2
x 1
sin
2
2
22
2
(x
2
1)dx 2
2
dx
x
3
3
x 2arctanx C
x cosx 2sinxcosx
sinx cosx
dx
(sinx cosx)sinx cosx
= (sin
x cosx)dx sinx cosx C
cosx sin
22
x
sinx cosx1 cosx2cosxcosx sinsin
2
2
2
2
22
dx 12
(cosx sinx)dx=sinx cosx C
12
14
dx
x
11x
1 dx tanx C 2
22 cosx
dx
xcosx
1 1
22
sinxcosx dx cotx tanx C
(10)= ((11)=
cosx 1
2
2
2
1 cos2x
2
2
)dx
cosxcos2x
1 dx=x 2
2
sinx sin2x C
cosx sinx cosx sin
2
2
x
sinxcosx
2
2
cos
1
2
dx 2tanx Cx
(12)= ex
1dx e x C
x
x
5
x
8 5
(13)=2dx 3 dx 2x 3 C
5 8
ln 8
1 1
(14)=2 dx
5 5
x
2 x1 1 x
5 2 C dx ln55ln2 2
x
(15)= ex
1 x
dx e lnx Cx
微积分第五章习题详细答案
(16)= e(17)=
x
6 2 (3e)dx e
xxx
x
2
x
ln2
(3e)
x
l ln3
6
x
ln6
C
1 x 1 x
x
2
dx 2
1 x
2
dx 2arcsinx C
(18)= (19)=
x2 1 x
5 x
2
dx 1x2 lnx 5arcsinx C 2
11 x
22
dx arcsinx C
(20)= (21)= (22)=
1 cosx2cosx
2
dx
12
11x
1 dx tanx C 2
22 cosx 11 1
2 2
x1 x x
x(x 1) 1x(1 x)
4
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