高等数学竞赛讲义第二章一元微分学

第二部分 一元函数微分学

一、导数与微分

内容要点

一、导数与微分概念 二、导数与微分计算

典型例题

一、用导数定义求导数

例1 设f(x) (x a)g(x)，其中g(x)在x a处连续，求f (a) 解：f (a) lim

f(x) f(a)

x a

lim

(x a)g(x) 0

x a

x 0

x ax a

g(a)

1，求f(0),f (0),f (0)的值

例2 设f(x)在x=0处二阶可导，且lim

（2005）

f(x)1 cosx

二、分段函数在分段点处的可导性

例1 设函数

x2,x 1

f(x)

ax b,x 1

试确定a、b的值，使f(x)在点x 1处可导。

xe

2

n(x 1)

例2 设f(x) lim

ax b 1

n

e

n(x 1)

，问a和b为何值时，f(x)可导，且求f (x)

解：∵x 1时，lime

n

n(x 1)

， 0

x 1时，lime

n

n(x 1)

x2,x 1，

a b 1

,x 1， ∴ f(x)

2

ax b,x 1，

由x 1处连续性，limf(x) limx 1，f(1)

x 1

2

a b 1

2

x 1

1，可知a b 1

再由x 1处可导性， f (1) lim

x 1

x f(1)x 1

2

存在

f (1) lim

x 1

(ax b) f(1)

x 1

存在

且f (1) f (1)

根据洛必达法则f (1) lim

x 1

2x1

2

f (1) lim

x 1

a1

a 2 a，∴

于是b 1 a 1

x2,x 1,

f(x) 1,x 1,

2x 1,x 1, 2x,x 1,

f (x)

2,x 1,

三、运用各种运算法则求导数或微分

例1 设y xx(x 0)，求例2 设y y(x)由方程x例3 设

x

y

y

x

dydx

x

y所确定，求

dydx

tt

2

e

u

2

sinudu

2t0

求

eln(1 u)du

u

dxdy

例4 设

x cos(t2)2

dy

2 求2 （2007） t 2

u

dxsinudu y 0e

例5. 设f(x)连续，且当x 1时，

f(x)[ f(t)dt 1]

x

xe

x

2

，求

2(1 x)

f(x)。(2002)

例6. 设f(x)连续， (x)

x

dv f(u v x)du，求 (x)。(2009)

x

例7. 设f(x)连续，且f(x)

x

x

e

xt

22

f(t)dt，求f (1) 3f(1)。(2010)

四、求切线方程和法线方程

例1 已知两曲线y f(x)与y

程，并求limnf()。

n

arctanx0

e

t

2

dt在点（0，0）处的切线相同，写出此切线方

2

n

解：由已知条件可知f(0) 0，f (0)

故所求切线方程为y x

e

(arctanx)

2

1 x

2x 0

1

2

f() f(0)

2limnf() lim2 2f (0) 2

n n 2n

n

例2 设f(x)为周期是5的连续函数，在x 0邻域内，恒有

f(1 sinx) 3f(1 sinx) 8x (x)。其中lim

(x)

x

x 0

0，f(x)在x 1处可导，

求曲线y f(x)在点（6,f(6)）处的切线方程。 解：由题设可知f(6) f(1)，f (6) f (1)，故切线方程为

y f(1) f (1)(x 6)

所以关键是求出f(1)和f (1)

由f(x)连续性lim[f(1 sinx) 3f(1 sinx)] 2f(1)

x 0

由所给条件可知 2f(1) 0，∴ f(1) 0

再由条件可知lim令sinx t,lim

f(1 sinx) 3f(1 sinx)sinx

f(1 t) 3f(1 t)

t

lim(

x 0

8xsinx

x 0

(x)

sinx

) 8

t 0

8，又∵f(1) 0

∴ 上式左边=lim

[f(1 t) f(1)]

t

t 0

3lim

f(1 t) f(1)

( t)

t 0

=f (1) 3f (1) 4f (1)

则4f (1) 8 f (1) 2

所求切线方程为y 0 2(x 6) 即 2x y 12 0·

x lnt

例3 求曲线

y 2t

t

1

e

(ts)

2

在t=1处的切线方程 （2008）

ds

五、高阶导数 例1 设f 例2 设f

x arctan x

3

1 x1 x

，求f

n

0 （2004） 0 （2008）

xarcsinx，求f

2

2008

例3 设f(x) x3sin

x，求f

f(y)

(2009)

(0)（2009）

例4 设y y(x)由xe

dydx

22

y

eln29确定，其中f具有二阶导数，且f 1，则

_______________（2009）

二、微分中值定理

这部分有关考题主要是证明题，技巧性比较高。

内容要点

一、罗尔定理

二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 四、泰勒定理

典型例题

一、用罗尔定理的有关方法

例1 设f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0) f(1) f(2) 3，f(3) 1. 试证：必存在 (0,3)，使f ( ) 0

证：∵ f(x)在[0，3]上连续，∴ f(x)在[0，2]上连续，且有最大值M和最小值m.于是m f(0) M；m f(1) M；m f(2) M，故

m

13

[f(0) f(1) f(2)] M. 由连续函数介值定理可知，至少存在一点c [0,2]使得13

f(c) （c，3）[f(0) f(1) f(2)] 1，因此f(c) f(3)，且f(x)在[c，3]上连续，

内可导，由罗尔定理得出必存在 (c,3) (0,3)使得f ( ) 0。

1

例2 设f(x)在[0，1]上连续，（0，1）内可导，且3 2f(x)dx f(0)

3

求证：存在 (0,1)使f'( ) 0

证：由积分中值定理可知，存在c [,1]，使得

3

123

2

f(x)dx f(c)(1

23

)

得到 f(c) 3 2f(x)dx f(0)

3

1

对f(x)在[0，c]上用罗尔定理，（三个条件都满足） 故存在 (0,c) (0,1)，使f ( ) 0

1

例3 设f(x)在[0,1]上连续，(0，1)内可导，对任意k 1，有f(1) k kxe1 xf(x)dx，

求证存在 (0,1)使f ( ) (1