节点类型扩展潮流计算及其可解性研究郭烨,张伯明,吴文传

82 中 国 电 机 工 程 学 报 第31卷

的已知量是冗余的；对于第4类节点类型，其θ 已知，无需再通过潮流计算进行求解。

因此，节点类型扩展潮流计算是否可解就取决

于位于第3类节点的已知量的冗余是否能够“传递”到不可观测的第2类节点。基于以上分析，快速分解法节点类型扩展潮流计算的P子迭代可解性判据可以表达为判据1。

判据1 若第2类节点与第3类节点数目相等，且从任意第2类节点出发，均存在至少1条与第3类节点连通的道路，这些道路仅由第1类节点组成且互不相交，则节点类型扩展潮流计算的P子迭代是可解的。

第2类节点和第3类节点两者数目相等，该数

目用m表示。

则可用数学归纳法对判据1的充分性进行证明。下文证明不考虑数值偶然性，即不考虑系统导纳参数恰好使得修正矩阵奇异的情况。对于实际系统，这种情况几乎不可能发生。

快速分解法节点类型扩展潮流计算的P子迭代

可解等价于有功修正方程(4)的系数矩阵满秩。

若消去式(4)中的B31

′部分，则可得到 B′B 11

12′ Δθ1 ΔP1/U1 0B 32′ Δθ2 =

ΔP (7) 3 式中：B 32′=B32′ B31′B11′ 1B12′；ΔP 3=ΔP3/U3 B31

′B11′ 1ΔP1/U1。 其中B11

′由第1类节点构成，是常规潮流计算中有功相角修正矩阵，是满秩的。节点类型扩展潮

流计算可解等价于B 32′=B32′ B31′B11′ 1B12

′满秩。因此就需要证明满足判据1时B

32

′满秩(本文采用归纳法 进行证明)。

1）当m=1时，若判据1成立，则由图上高斯 消去的拓扑意义[20]可知，B31

′B111′ B12′≠0，即消去所 有第1类节点后，第2类节点和第3类节点之间

必存在支路。如不考虑数值偶然性，则B 32′≠0，B 32′ 满秩。

2）假设m=k时判据1的条件满足，即B 32

′满秩。 3）当m=k+1时，即系统中有2个节点分别变换成第2类节点和第3类节点，则此时P-θ 修正方程可简写为

B′BB 11

12

′12

′′ Δθ1 ΔP1 B31′B32′B32

′′ Δθ2 = ΔP3 (8) B3

′′1B3

′′2B3′ ′2′ Δθ2′ ΔP3′

式中下标2′、3′分别表示新增的第2类节点和第3

类已知节点。对式(8)高斯消去，即消去第3类节点，可得到 B11

′B12

′B12

′′ Δθ1 ΔP1 0B 32′B 32′ ′ Δθ 2 = ΔP 3 (9) 00

B 3′′2′ Δθ2′ ΔP 3′

式中：B

32

′=B32

′ B31′B111′ B12′；B 3′′2′=B3′′2′ B3′′1B11

′ 1 B12′′ B 3′′2B ′ 132B 32

′′。 由于m=k时，判据1的条件成立，则对于原

来的k对节点，判据1的条件仍满足，因此B 32′ 满秩。

B3′′2′是节点2′和3′之间的互导纳。B3′′1B11′ 1B12′′ 是消去所有第1类节点后在节点2′、3′之间产生的新边。若节点2′、3′之间存在仅由第1类节点构成

的道路，则B′ 13′1B11′B12′′≠0。对于B 3′′2B ′ 132B 32′′部分， 若消去所有第1类节点后，节点2′与第3类节点

之间有新边，则B 32

′′≠0，若节点3′与第2类节点之间有新边，则B

3′′2

≠0。由于判据1成立，B3′′2

′、B′B′ 1

′ 1

3′111B12′′

与B3′2B ′32B 32′′

必不会同时为0，

又由于这 些道路互不相交，因此它们之间的数值是独立的，若不考虑数值的偶然性，则必有

B ′′′=B′ 11323′2′ B3′′1B11′B12′′ B 3′′2B ′ 32B 32

′′≠0 因此，式(9)中的系数矩阵满秩，即Pθ 修正方程 可解。

由数学归纳法可知，判据1是快速分解法节点

类型扩展潮流计算中有功子迭代可解的充分条件。

同理可证明，判据1也是快速分解节点类型扩展潮流计算有功子迭代可解的必要条件。

若对于某第2类节点，不存在一条仅由第1类

节点构成的通向第3类节点的道路，则在消去所

有第1类节点后，该节点在B 32

′中的对应行将为零向量，B

32

′将不满秩。若这些道路彼此相交(例如 图1)，以2条道路1->4、2->5相交于节点3为例，则可消去所有第1类节点，仅保留节点3，则由节

点1—5组成的B

32

′子阵为 0

B 13

′ B 32′=

00B 23′ (10) B 34

′B 35′B 33′

式中：B 32′的1~3行分别对应节点1、2、3；B 32

′的1~3列分别对应节点4、5、3。可见B

32

′的第1行和第2行是线性相关的，式(10)中的B 32

′不满秩。 因此，若不考虑数值偶然性影响，判据1是快