5医学信号处理参数估计

医学信号处理：参数估计

第五章 信号的参数估计提出问题：信号估计(Estimations)——从受噪声干扰的观测信号中估计信号参量和波形的问题，

即参数估计问题。参量估计的目的：在有限个信号观测样值中， 以最佳方式估计信号的参数。 参数估计-被估计的量是随机变量(静态估计) 波形估计-被估计的量是随机过程(动态估计)1

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§5-1、概述数理统计中由随机信号的一组样本估计信号 的统计特征，如均值、方差、均方、相关函数、

功率谱等，是一种简单而常见的参数估计。在数理统计中，均值、均方和方差的估计是

按照定义，用有限个样本采用直接估计法来估计。这里的参数估计问题应为：从含有噪声的观 察中估计信号的参数。2

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§5.1.1 数学描述：设观察x=x1,x2,...,xN为随机变量s的独立同分布的N个

观测样值，x=s(a)+n,a为信号的参数，而f(x1,x2,...,xN)是用来估计参量a的观测样值函数(统计 量),称：

a=f(x1,x2,...,xN) 为参量a的估计量。 的均值即为 a E[a]=E[ f(x1,x2,...,xN) 。 要求通过一定的估计算法，使得 a为按某一判据的a 的最优估计值，比如使得估计误差均方最小为最小

均方误差估计。3

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a x=s(a)+n

框图表示为：∑ 估计算法 a

判据

最优估计

§5.1.2 参数估计方法分为两类：一、非线性估计——已知待估参数的先验概率p(a) 和条件先验概率p(x|a),依据某些最优判据，通过非

线性数理统计算法估计参数；随机参量-其特性用概率密度来表征-贝叶斯估计 非随机参量-仅为一般的未知量-最大似然估计4

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非线性估计方法经典，计算复杂，估计质量较好，但

是要求先验概率知识。

二、线性估计——在估计参数a为观察值x的线性

函数，基于最小均方误差准则进行估计。前提条件：估计 a 必须是观察值x的线性函数。 线性估计方法计算简便，只要求一、二阶统计知识， 故先验知识要求低，估计质量较差，近年来发展较快。

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§5.1.3 估计准则

有关定义：1、估计偏差 2、估计方差

ba E[a] a 2 ( ]2 a E[a E a)

3、估计值的均方误差 Da a 2 ba 2 E(a a)2 4、有效估计 E[a E a ) E[a E a ) 1 ( 1 ]2 k ( k ]2 5、一致估计N

)2 0 lim E (a a6

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估计准则： 无偏估计——如果待估计参数a和它的估计值 a 的均值 E( a)相等，即E( a )=a,就称为无偏估计，否则

称为有偏估计。估计偏差越小，则

各次估计值的均值接近于真

实值，但并不能保证每次估计值都接近于真实值，而且各次估计值可能分布很分散；而估计方差很小， 表明估计值都接近于均值，即 分布很集中，但并 a

不能保证均值E(各个

)接近于真实值，也就是不能保证 a

集中分布于真实值a附近。 a7

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一致估计——根据以上分析，将估计偏差和方差结合 起来的综合量表示估计质量的好坏，即估计值的均方 误差。

如果随着样本数目的增加，估计的均方误差趋于0,即要求当N→+∞时，偏差和方差都趋于0,则称此

估计为一致估计。有效估计——由某一种估计方法得出的估计值的方差 小于其它任何估计方法得出的方差，则称该估计为有 效估计。如果该估计同时又是无偏的，则为均方误差 最小的估计。8

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§5-2、非线性估计§5.2.1 贝叶斯估计是将贝叶斯判决理论，推广到对随机参量估计的贝叶斯估计 理论，都是使平均代价最小。 代价函数

若 s 是一参量， s 是估计量， C( s ,s)是代价函数， 称 它是 s 和 s 的实值函数。风险函数(Risk function) 定义为代价函数的均值为双变量连续函数

R E[C ( s, s)]9

医学信号处理：参数估计 通常仅对估计值与真实值之差 s s s 感兴趣， 考虑误差函

数的代价，有下列三种情况： (a)平方误差 (b)绝对值误差 C(s, s) (s s)2

1 s s , 2 (c)均匀代价函数 C ( s, s ) . 0, s s 2 ( s s)2 s s

C(s, s) s s .

这样C定义为 单变量函数

典 型 代 价 函 数

s s

s s

s s10

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贝叶斯判据：平均代价最小，即 E(c)=min。

由于c是 s s的函数，而 s 又是观察值x的函数，所以c就是x和s的联合函数，所以有：

c

cp ( ,x ) s dsdx

用后验概率函数表示为：

c [ cp( s | x)ds] p( x)dx

令

R

cp( s | x)ds ,R称为条件风险函数。

贝叶斯判据实际为以R最小作为判据。11

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情况(a)平方误差情况下，风险函数最小的估计量称为 最小均方估计(minimum mean square estimation) 其风险函数为：

c

(s s) p(s, x)dsdx

2

由于 p( s, x) p(s | x) p( x). 则风险函数为：

c [ (s s) p(s | x)ds] p( x)dx.

2

∵p(x)≥0 故MS最小即等效为上式括号[ ]内项最小12

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