数值分析A第五次作业(李庆杨版)第二章

数值分析A 第五次作业 20111228 第二章

教材：数值计算原理

P130~133

() ()9. 令Tnx=Tn(2x 1)，x∈[0,1]，试证{Tnx}是在[0,1]上带权ρ(x)=

() () () ()并求T0x，T1x，T2x，T3x.

()(narcosx)，所以Tnx=cos (narcos(2x 1)) 见教材P48，(1.22)：T

() () Tnx,Tmx = cos (narcos(2x 1)) cos (marcos(2x 1))dx 0令t=2x-1，有：

√右式=∫ 1

1))d((t+1)/2)=∫ 1

(narcos(2((t+1)/2) 1)) cos cos (narcos(t) cos (marcos(t))d(t/2)=∫ 11cos (narcos(t) cos (marcos(t)) 2dt=∫ 参照教材P48例题Tn(x)的结果，做变换，可得：

() T0x=cos 0 arcos(2x 1) =1 () T1x=cos arcos(2x 1) =2x 1 () T2x=cos 2arcos(2x 1) =2(2x 1)2 1=8x2 8x+1 332 T

已知经验公式，则φ01(φ0,φ0)=5，(φ0,φ1)=(φ1,φ0)

=5327，(φ1,φ1)=7277699， (Y,φ0)=271.4，(Y,φ1)=369321.5 由P56（2.19）得法方程：

5a+5327b=271.4 5327a+7277699b=369321.5

()x}是在[0,1]上带权ρ(x)=因此，{Tn

≠n

Tn(t),Tm(t) = 2,m=n≠0（教材P48, 1.23）

π,m=n=0

cos (narcos(t) cos (marcos(t))dt=

解上述方程组得a=0.97258，b=0.05004

Ln(x)=

k=0n

直接用计算器求

ln0.54为-0.616186139423817 其中wn f(x) kn+1kk

f

(2)

(x)= xR1(x)=

2!

已知x=0.54，解得R1(0.54) [0,0.00105)，估计误差为0.00105

ω2(x)，ξ (0.4,0.6)

3!

f(3)(x)=x，R2(x)=

已知x=0.54，解得Rω3(x)，ξ (0.4,0.7)

210 0.520.500.52000.5

d00M0

0 M1 = 6.4215

6.42150.5M2

d32M3

对于自然边界条件，有M0=M1，M2=M3

解得M0=M1=M2=M3=2.1405 现在求f(0)的近似值s(0)。

已知0∈[ 0.1,0.1]，该区间内的s(x)为：

+2.1405×+ 0.08993 ×s(x)=2.1405×

+ 0.11007

×

s(0)= 6.324999999999977e 004

附：

容易发现，4个点，可以精确求解三次多项式，使用MATLAB求解验证：

其中x是系数矩阵，

matlab命令窗口输入x(4)得-2.602085213965212e-015 输入x(1)得-6.325000000000358e-004 因此原方程近似为：

f(x)=-0.0006325+x+1.07025x^2-2.602085213965212e-015x^3 与上述建立的三次样条插值函数基本保持一致。

29. 确定下列求积公式的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：

（4）∫0f(x)dx≈Af(0)+Bf(x1)+Cf(1)

011

1

1dx=A+B+C=1 xdx=B(x1)+C=

1

x2dx=B(x1)2+C=0

求解上面的方程组，得x1=2，A=6，B=3，C=6

1

1

x3dx=B(x1)3+C=0

1

∫0x4dx=5，Af(0)+Bf(x1)+Cf(1)=24≠∫0x4dx，因此所构造出的求积公式所具有的代数精度为3.

30. 证明求积公式

1

∫ 1f(x)dx≈9 5f 5 +8f(0)+5f 5 的代数精确度为5.

11

xdx=0，右=

1

1

1dx=2，右=[8+5]，左=右

1

x3dx=0，右= 5 +0+5 =0，左=右

1

1

1

x2dx=，右=3+0+3]=，左=右

1

3

3

1

5 +0+5 =0，左=右 x5dx=0，右= 5 +0+5 =0，左=右

1

综上，原求积公式的代数精确度为5。

32. 证明[a,b]上以ρ(x)为权的高斯型积分公式（5.2）的系数Ak满足

Ak= ρ(x)dx

k=0

a

n

b

x4dx=，右=+0+=，左=右

1

5

5

x6dx=

1

1

，右= +0+ =，左≠右 n

令f(x)=1，则I(f)=∫af(x)ρ(x)dx=∫aρ(x)dx， In(f)=∑nk=0Akf(xk)=∑k=0Ak

首先已知求积公式是[a,b]上以ρ(x)为权的高斯型积分公式，则该插值求积公式具有2n+1次代数精确度。由此可知I(1)=In(1)

b

b

已知I(1)=In(1)，则

Ak= ρ(x)dx

k=0

a

n

b

第五次作业部分参考答案

9.利用变量替换，令y=2x-1,那么切比雪夫多项式的权函数也变成题中所给的权函数，区间也变成[0,1]中，正交性也可同样得证。 14. 令

5

, = + 2

i=1

2

令 =0及 =0。可知，只需解：

5

5

5

2 =1

5

2

=1 =5 = 5 5

42

=5 =1

得：a= 0.9726, b= 0.0500.

21. 最好选择的点所形成的区间内包含0.54这个点，否则可能结果不稳定，具体略。 23. 三弯矩法求解，略。

29.(4)令f(x)=1,x,x2,x3时均精确成立，并求解关于A,B,C,x1的方程组，得到A=C=1/6,B=2/3,x1=1/2.而f(x)=x4时，数值积分不再精确，因此精确度为3.

30. 需按照定义证明，对于(1)1,x,x2,x3,x4,x5均可精确成立，(2)而对x6不再精确。有的同学漏证了低于5次的多项式，有的同学漏证了(2)。

32. 由于数值精度必定大于1，于是可将f(x)=1代入，即可证明该等式。