太原理工大学2008研究生矩阵论期末试题及答案

时间：分钟 共

一．填空题(每小题3分，共15分) 1．设矩阵A 0，并且(E A)

1

E A，则A的最小多项式m( ) 2.

100 1

12．设A 0 20 ，A( ) E A，则A( )的Smith标准形为 .

2 201 ( 1)( 2)

3．若A Om n，则A的加号逆A On m.

0

3

4．若矩阵A

2 1 123

012

，则矩阵A的谱半径 (A) . 301

230

0 20 cos2

cos15．设A 0 10 ，则矩阵函数cosA= .

01 1 sin1cos1

二．单项选择题(每小题3分，共15分)

6．矩阵A与对角矩阵酉相似的充分必要条件是（ C ） （A）A为正定矩阵； （B）A为正交矩阵； （C）A为正规矩阵； （D）A为元素全为正的矩阵. 7．设x Cn ，则（ A ） （A）x（C）x

12

x x

2

x ； （B）x1 x x1； （D）x

2

x2； x1.

x

8．设矩阵A的谱半径 (A) 1，则下列命题不正确的是（ D ） （A）(E A) 1 （C）

1k

； （B）limA 0；

k E A

A

k 0

k

(E A) 1； （D） m，使Am 0．

T

9.设A是实的反对称矩阵（A A），则下列命题正确的是（ B ）

（A）eA是实的反对称矩阵； （B）eA是正交矩阵； （C）cosA是实的反对称矩阵； （D）sinA是实的对称矩阵． 10．设T是线性空间V上的一个线性变换，则下列命题正确的是（ A ）

（A）dim(R(T)) dim(ker(T)) dimV；（B）R(T) ker(T) V；

（C）R(T) ker(T) {0}； （D）R(T) ker(T) R(T) ker(T). 三．证明与计算题(共70分

)

A第 1 页 共 6 页

11．（10分）设V {p(x)|p(x)是次数 n的实系数多项式，并且p(0) 0}， （1）验证V是Rn[x]上的一个n维线性子空间；

（2）当n 3时，设pk(x) (x 1)k 1，求V中由基x,x,x到基p1(x),p2(x),p3(x)k 1,2,3，的过渡矩阵. 解：假设p(x),q(x)是次数 n的实系数多项式，并且p(0) 0，q(0) 0，

2

3

c R为常数，则p(x) q(x)与cp(x)也是次数 n的实系数多项式，并且p(0) q(0) 0，

cp(0) 0，所以V是Rn[x]上的一个线性子空间；

有因为x,x, ,x是V的一组基，所以V是n维线性子空间。 由于p1(x) (x 1) 1 x；p2(x) (x 1) 1 x 2x；

2

2

2

n

p3(x) (x 1)3 1 x3 3x2 3x；

123

2323

所以，(p1(x),p2(x),p3(x)) (x,x,x) 013 ，即由基x,x,x到基p1(x),p2(x),p3(x)的

001 123

过渡矩阵为 013

001

12．(12分) 在R3中定义变换T为

T(x1,x2,x3) (4x1 2x2, 3x1 2x2 x3, 3x1 x2 x3)，

（1）证明T是R上的线性变换；

（2）求T在基e1 (1,0,0),e2 (0,1,0),e3 (0,0,1)下的矩阵； （3）求T的像空间的一组基及其维数.

解：显然T(x1,x2,x3) R3，所以T是R上的变换。

任取x (x1,x2,x3) R3，y (y1,y2,y3) R3，任取k R，则

3

3

T(x y) T(x1 y1,x2 y2,x3 y3)

(4x1 4y1 2x2 2y2, 3x1 3y1 2x2 2y2 x3 y3, 3x1 3y1 x2 y2 x3 y3) (4x1 2x2, 3x1 2x2 x3, 3x1 x2 x3) (4y1 2y2, 3y1 2y2 y3, 3y1 y2 y3)

T(x) T(y)；

T(kx) T(kx1,kx2,kx3) (4kx1 2kx2, 3kx1 2kx2 kx3, 3kx1 kx2 kx3)

k(4x1 2x2, 3x1 2x2 x3, 3x1 x2 x3) kT(x)，

A第 2 页 共 6 页

所以，T是R3上的线性变换。

T(e1) T(1,0,0) (4, 3, 3) T(e2) T(0,1,0) (2, 2, 1)

T(e3) T(0,0,1) (0,1, 1)

20 4

所以，T(e1,e2,e3) (e1,e2,e3) 3 21 ，即T在基e1,e2,e3下的矩阵为

3 1 1 20 4

A 3 21 。

3 1 1

20 101 101 4

由于(Te1,Te2,Te3) 3 21 3 21 01 2 ，所以，T的像空间

3 1 1 0 1 2 000 R(T) span(Te1,Te2,Te3) span(Te1,Te2)，其中Te1,Te2为一组基，维数为2。

13．(12分) 给定n阶正定矩阵A，对任意的列向量x,y R，定义(x,y) xAy. （1）验证(x,y)是Rn中的一种内积；

n

T

111

（2）当n 3，A 120 时，求Rn在上述内积意义下的一组标准正交基。

103

解：因为对任意的x,y,z R，k R，有

(x,y) xAy (xAy) yAx yAx (y,x)（A为对称矩阵）； (kx,y) (kx)Ay k(xAy) k(x,y)；

T

T

T

T

T

T

T

T

n

(x z,y) (x z)TAy xTAy zTAy (x,y) (z,y)；

(x,x) xAx 0，且(x,x) xAx 0当且仅当x 0（A为正定矩阵） 所以，(x,y)是R中的一种内积。

nT

T

111 n

当n 3，A 120 时，取R的一组基为：e1 (1,0,0),e2 (0,1,0),e3 (0,0,1)。

103

将其正交化得：

1 e1； 2 e2

(e2, 1)1

1 e2 1 ( 1,1,0)；

( 1, 1)1

A第 3 页 共 6 页

3 e3

(e3, 1)(e, )1 1

1 32 2 e3 1 2 ( 2,1,1)。

( 1, 1)( 2, 2)11

由于( 1, 1) ( 2, 2) ( 3, 3) 1，所以 1 (1,0,0), 2 ( 1,1,0), 3 ( 2,1,1)是Rn在上述内积意义下的一组标准正交基。

14．(12分) 设A是n阶可逆矩阵，E是n阶单位矩阵. （1）证明：||E|| 1；

（2）利用（1）的结论证明：||A

1

|| ||A|| 1；

（3）如果|| ||是矩阵的算子范数；证明：||E|| 1.

解：对任意的x 0，则||x|| 0，由范数的相容性||x|| ||Ex|| ||E|| ||x||，所以 ||E|| 1。 由于AA 1 E，且||E|| ||AA

1

|| ||A|| ||A 1||，根据（1）得||A 1|| ||A|| 1。

||x|| 1

由矩阵的算子范数定义，||E|| max||Ex|| max||x|| 1。

||x|| 1

200 1 1

15．(12分) 设A 010 ，f(t) 1 ，x0 1 ，

011 t 1

dx

Ax f(t)

（1）求e；（2）求初值问题 dt的解.

x(0) x0

At

e2t 200

At

解：显然A 010 为若当形，所以e 0

0 011

同理 e At

0ettet

…… 此处隐藏：1752字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……