123456789

x=

,y=,z=

222

∵ a,b,c都是整数，

∴ b+c a,c+b a,a+b c同为偶数或同为奇数.

于是，x,y,z均为整数或均为奇数的一半。下面证明后者是不可能的. ∵ r=1，∴ x=cot

ABC

,y=cot,z=cot 222

11+

x+yCABxyx+y

又cot=tan(+)=， ∴z= =

1222xy 1xy 11 xy

若x,y均为奇数的一半，不妨设x=则 z=

2m 12n 1

,y=(m,n∈N*)， 22

4(m+n 1)

4mn 2m 2n 3

∵4(m+n 1)为偶数， 4mn 2m 2n 3为奇数，∴z不可能是奇数的一半，矛盾。 故x,y,z均为整数。

不妨设A≤B≤C，则C≥60，于是z=cot

C

≤3，又z∈N*，∴z=1，即z=r=1 2

∴四边形DCEI为正方形，其中I为 ABC的内心，即∠ACB=90.

故 ABC为直角三角形.