123456789

第三届北方数学奥林匹克

第一天

2007年8月1日 9:00 —12:00

一、(本题25分) 在锐角 ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高.以AB为直径作圆交CE于M，在BD上取点N使AN=AM.证明：AN⊥CN证法一：连结DM，

由AB为直径,BD⊥AC得A、B、M、D四点共圆． ∴∠ABD=∠AMD.

又∠ACE=900 ∠CAE=∠ABD=∠AMD． ∴ ADM∽ AMC

∴AD AC=AM2=AN2,

==

∴AN⊥CN．(射影定理的逆定理)

证法二：连结BM、EN，则由射影定理， 得 AM2

AN2

AE AB.

∴ AEN ANB，∴∠ANE=∠ABN， 又B,C,D,E四点共圆，∴∠ABN=∠ACE ∴∠ANE=∠ACE∴A,E,N,C四点共圆， ∴∠ANC=∠AEC=90 ，即AN⊥CN.

二、(本题25分) 设 ABC三边长分别为a,b,c，且a+b+c=3. 4

求f(a,b,c)=a2+b2+c2+abc的最小值.

3442

解：f(a,b,c)=a2+b2+c2+abc=(a+b+c) 2(ab+bc+ca)+abc

33

2

=9 2 ab+bc+ca abc

3

因为a,b,c是 ABC三边长，且a+b+c=3，所以 0<a,b,c<

3

， 2

333 a+ b+ c

33313于是 ( a)( b)( c)≤( 22238

27

即 ab+bc+ca abc≤

33713

∴ f(a,b,c)≥9 2×=.等号当且仅当abc1时取到，

33

123456789

故f(a,b,c)的最小值为

. 3

2an

三、(本题25分) 在数列{an}中，a0=2007， an+1= (n∈N).

an+1

求证：当0≤n≤1004时，有[an]=2007 n (其中[x]表示不超过x的最大整数). 证明：先考虑一般问题：设a0>0,an+1

2an1

，求证：[an]=a0 n(0≤n≤(a0+2)) =

2an+1

对于任何正整数n，由递推公式知an>0, 由于an an+1

2

ana

=an =n>0，所以有a0>a1>a2> >an>

an+11+an

当n为正整数时，有

n

ai 11

=a0 ∑(1 an=a0+∑(ai ai 1)=a0 ∑

1+ai 1i=1i=11+ai 1i=1

nn

n

=a0 n+∑(

i=1

1

>a0 n 1+ai 1

另一方面，由于an 1>a0 (n 1)，且a0>a1>a2> >an> 所以，n=1时，∑

n≥2时，

11

=<1， aa++11i=1i 10

n

1nn1

（ n≤(a0+2),∴a0 n+2≥n) <≤≤1∑1+an 1a0 n+22i=11+ai 1总之，∑

1

<1， a1+i=1i 1

n

n

n

故有，an=a0 n+∑(

i=1

1

)<a0 n+1 1+ai 1

所有[an]=a0 n.

取a0=2007，即得本题．