9-4 多元复合函数的求导法则

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第4节 多元复合函数的求导法则

教学目的：掌握多元函数的求导法则，会求多元函数的导数，掌握全微分形式不变性 教学重点：针对多元函数的表达状态，能够求其导函数，全微分形式不变性 教学难点：抽象复合函数的求导 教学方法：讲授为主，互动为辅 教学课时：2 教学内容：

定理 如果函数u (t)及v (t)都在点t可导，函数z f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数z f[ (t), (t)]在点t可导，且其导数可用下列公式计算：

dzdt

＝

zdu udt

＋

zdv vdt

． (1)

证 设t获得增量 t，这时u (t)、v (t)的对应增量为 u、 v，由此，函数z f(u,v)对应地获得增量 z．根据假定，函数z f(u,v)在点(u,v)具有连续偏导数，

于是由第三节公式(6)有

z

z u

u

z v

v 1 u u 2 v,

这里，当 u 0， v 0时， 1 0， 2 0．

将上式两边各除以 t，得

v t

u

因为当 t 0时， u 0， v 0，

t

z zdu z

lim=+

t 0 t udt v

z t

＝

z u u t

＋

z v

＋ 1

u t

du

t vdv，，所以 dt tdtdvdt

＋ 1

v

．

这就证明了复合函数z f[ (t), (t)]在点t可导，且其导数可用公式(1)计算．证毕． 用同样的方法，可把定理推广到复合函数的中间变量多于两个的情形．例如，设z f(u,v,w),u (t)、v (t)，w (t)复合而得复合函数

z f[ (t), (t), (t)],

则在与定理相类似的条件下，这复合函数在点t可导，且其导数可用下列公式计算

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dzdt

＝

zdu udt

＋

zdv vdt

＋

zd

dt

． (2)

在公式(1)及(2)中的导数

dzdt

称为全导数．

上述定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情形．例如，设z f(u,v)，u (x,y)，v (x,y)复合而得复合函数

z f[ (x,y), (x,y)], (3)

如果u (x,y)及v (x,y)都在点(x,y)具有对x及对y的偏导数，函数z f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数(3)在点(x,y)的两个偏导数存在，且可用下列公式计算：

z x

z x z y

==

z u u x z u u y

++

z v v x z v v y

,

(4) (5)

．

事实上，这里求时，将y看作常量，因此中间变量u及v仍可看作一元函数而应用

上述定理．但由于复合函数(3)以及u (x,y)和v (x,y)都x、y是的二元函数，所以应把(1)式中的d改为 ，在把t换成x，这样便由(1)得到(4)式。同理由(1)式可得到(5)式。

类似地，设u (x,y)、v (x,y)及w (x,y)都在点(x,y)具有对x及对y的偏导数，函数z f(u,v,w)在对应点(u,v,w)具有连续偏导数，则复合函数

z f[ (x,y), (x,y), (x,y)],

在点(x,y)的两个偏导数都存在，且可用下列公式计算：

z x z y

==

z u u x z u u y

++

z v v x z v v y

＋

z w w x z w w y

， (6)

＋． (7)

如果z f(u,v,w)具有连续偏导数，而u (x,y)具有偏导数，则复合函数

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z f[ (x,y),x,y], (8)

可看作上述情形中当v x，w y的特殊情形，因此

v x v y

＝１，

w x w y

＝０，

＝０， ＝１，

从而复合函数(8)具有对自变量ｘ及ｙ的偏导数，且由公式(6)及(7)得

注意 这里

z x

z x z y

＝

f u u x f u u y

＋

f x f y

，

＝＋．

与

f

f z

是把复合函数(8)中的y看作不变而对x x x x

z y

是把f(u,x,y)中的u及y看作不变而对x的偏导数．与

f y z y

也有类似的区别

例１ 设z eusinv 而u xy，v x y．求

z x

z u u x

z v v x

z x

和．

解

=+

u

=eusinv·y ecosv·1 =e[ysin(x y) cos(x y)]， z y

xy

=

z u u y

u

+

z v v y

＝esinv·x ecosv·1 ＝e[xsin(x y) cos(x y)]．

x y z

2

2

u

xy

例２ 设u f(x,y,z) e

u x

f x

f z z x

，而z xsiny．求

2

2

2

2

2

u x

和

u y

．

解

＝＋

＝2xe

x y z

＋2ze

2

x y z

·2xsiny

2

2

＝2x(1 2xsin

2

y)e

x y zsin

2

y

．

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u y

＝

f y

＋

f z z y

＝2yex

2

y z

2

＋2zex

2

y z

2

·x2cosy

＝2(y x4sinycosy)ex

2

y xsin

42

y

．

例３ 设z uv sint， 而u et，v cost．求全导数

解

dzdt

dzdt

．

＝

zdu udt

＋

zdv vdt

＋

z t

＝vet usint cost

=etcost etsint cost =et(cost sint) cost．

w x

w x z

2

例４ 设w f(x y z,xyz)，f具有二阶连续偏导数，求 及

．

解 令u x y z,v xyz，则w f(u,v)． 为表达简便起见，引入以下记号：

f

'

1

＝

f(u,v) u

， f

''

12

＝

f(u,v) u v

2

，

这里下标1表示对第一个变量 ｕ求偏导数，下标2表示对第二个变量ｖ求偏导数，同理有f

'2

、f

''

11

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