第三节 向量组的秩

第三节 向量组的秩一.极大线性无关组 二. 向量组的等价 三.向量组的秩 四.向量组的秩的计算方法

一.极大线性无关组⒈ 极大线性无关组 , s中, 如果存在部分组 在向量组 1, 2, 定义：

i , i , , i 线性无关, 而从向量组的其余向1 2 r

量中(若还有的话)任取一个添进去, 得到的新的

, ir 向量组都线性相关, 则称部分组 i1, i2, , s 的一个极大线性无关组. 是向量组 1, 2,

说明： ⑴ 全由零向量组成的向量组没有极大线性 无关组.

⑵ 任意含有非零向量的向量组，必有极大线性无关组. ⑶ 线性无关的向量组的极大线性无关组是 其本身. ⑷ 向量组的极大线性无关组不一定唯一。3

T T T a (1, 0, 0) , a (0,1, 0) , a (0, 0,1) , 例 求向量组 1 2 3 a4 (4,1, 0)T , a5 (0, 4,1)T , a6 (1,1,1)T 的一个

极大线性无关组. 解 显然 a1 , a2 , a3 线性无关，而该向量组中任意 4个向量都线性相关，所以 a1 , a2 , a3 是一个极 大线性无关组，还可以验证 a4 , a5 , a6 也是.

问题： 向量组的任意两个极大线性无关组所 含向量个数是否一定相等？4

二.向量组间的等价关系

定义：设有两个 n 维向量组 A : 1, 2, , s; B : 1, 2, , t ; 若 A 中每个向量都可由向量组 B 线性表出, 则称向量组 A 可由向量组B 线性表出；若向量组 A 与向量组B 可以互相线性表出， 则称这两个向量组等价，记作

A B.5

向量组的等价是向量组之间的一种关系， 易知，这种关系具有如下三条性质： ⑴ 反身性

A A

⑵ 对称性 若 A B, 则 B A ⑶ 传递性 若A B, B C , 则 A C .(因为线性表出具有传递性) 为了讨论向量组的任意两个极大线性无关 组之间的关系，我们先讨论向量组与它的极大 线性无关组之间的关系。6

定理1: 向量组与它的任意一个极大线性 无关组等价. , ir 是向量组 1, 2, , s 证： 设 i1, i2, 的一个极大线性无关组

, ir 可由 1, 2, , s ① 先证 i1, i2, 线性表出。 i1, i2, , ir是向量组 1, 2, , s中的 r 个向量，

, s 线性表出. i1, i2, , ir可由 1, 2,7

, ir , s 可由 i1, i2, ② 再证 1, 2, , s 任取一个向量 j , 线性表出. 从 1, 2, , ir中的一个, 则 j 可以由 若 j 是 i1, i2, i1, i2, , ir 表出; 若 j 不是 i1, i2, , ir中的一个, 由极大线性无关组的定义1 2 r 1 2 r

i , i , , i , j , i 线性无关, 所以 线性相关， 由于 i , i ,

j 可以由 i , i , , i 线性表出。因此 , i 线性表出. 1, 2, , s 可以由 i , i ,1 2 r

, ir 1, 2, , s i1, i2,

1

2

r

推论： 向量组的任意两个极大线性无关组等价。 (由等价的对称性和传递性) 现在我们知道，向量组的任意两个极大 线性无关组可以互相线性表出，为了研究它 们所含向量的个数是否相等，就需要先研究 如果一个向量组可以由另一个向量组线性表 出，它们所含向量的个数有什么关系。9

, s 可由 1, 2, , t 定理2: 设向量组 1, 2, , s 线性相关. 线性表出, 如果 s > t , 则 1, 2,

证 假设 s t,由已知条件 1 , 2 , , s 中每 一个向量都可以表示为 1 , 2 , , t 的线性组 合，即 1 k11 1 k21 2 kt 1 t k k k 2 12 1 22 2 t2 t s k1 s 1 k2 s 2 kts t

, s ) ( 1 , , , )t K 即 ( 1, 2, 2

其中

k11 k21 K kt 1 k11 k21 kt 1

k 1 s k22 k 2 s , kt 2 kts k12 k 0 1 s x 1 k22 k 0 2 s x 2 kt 2 kts xs 0 k1211

考虑齐次线性方程组

由于方程的个数t小于未知量的个数s,所以 一定有非零解 b1 , b2 , , bs ,使得 K b1 , b2 , , bs 于是 b1 b1 b b2 2 0 ( 1 , 2 , , t ) K ( 1 , 2 , , s ) bs bs T

0.

即

b1 1 b2 2 bs s 0

因此 1 , 2 , , s 线性相关.12

, s 可由 1, 2, , t 定理2: 设向量组 1, 2, , s 线性相关. 线性表出, 如果 s > t , 则 1, 2,

, s 可由 1, 2, , t 推论1: 如果 1, 2, , s 线性无关， 则 s t. 线性表示,且 1, 2,

两个线性无关的等价的向量组，必含 推论2: 有相同个数的向量.

向量组的任意两个极大线性无关组所 推论3: 含向量的个数相等.13

向量组的任意两个极大线性无关组所 推论3: 含向量的个数相等. 由此我们得出，一个向量组的所有极大线 性无关组所含向量的个数相等. 一个向量组的 极大无关组所含向量的个数是相当重要的，

为此我们引出下述概念。

三.向量组的秩

, s 的极大线性无关组 定义: 向量组 1, 2, 所含向量的个数称为这个向量组的

秩，记作 秩 1, 2, , s 或rank{ 1, 2, , s }。规定全由零向量组成的向量组的秩为零。 说明：

, s , s r 向量组 1, 2, ⑴ 秩 1, 2,中线性无关的向量的个数至多是r,任意r+1个 向量都线性相关。15

, s 线性无关 ⑵ 向量组 1, 2, 秩 1, 2, , s s . , s 线性相关 ⑶ 向量组 1, 2, 秩 1, 2, , s s .定理3: 设有两个 n 维向量组 A : 1, 2, , s; B : 1, 2, , t ; 若 A 可由B 线性表出, 则 秩 1, 2, , s 秩 1, 2, , t .16