衡南六中数学组全等三角形复习2

衡南六中数学组全等三角形复习

[知识要点]

一、全等三角形

1．判定和性质

注：① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；

② 全等三角形面积相等．

2．证题的思路：

找夹角（SAS） 已知两边 找直角（HL）

找第三边（SSS） 任意角（AAS） 若边为角的对边，则找 找已知角的另一边（SAS） 已知一边一角 边为角的邻边 找已知边的对角（AAS）

找夹已知边的另一角（ ASA） 找两角的夹边（ASA） 已知两角 找任意一边（AAS）

典型例题

例1在△ABC中，AC=5，中线AD=4，则边AB的取值范围是( )

A．1<AB<9 B．3<AB<13 C．5<AB<13 D．9<AB<13

例2一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下右图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上

(1)求证：AB⊥ED

(2)若PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明

例3 如图11-113所示，BD，CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD

的延线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB．

（1）求证AP＝AQ；

（2）求证AP⊥AQ．

例4 已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连结BD.

求证：(1)△BAD≌△CAE； (2)试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明

.

例5．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，并且AE

求∠ABC+∠ADC的度数。

1(AB AD),2

例6．如图，△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF，试判断BE+CF与EF的大小关

系，并证明你的结论．

例7.在△ABC中，,∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E(1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE

(2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE

(3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明

作业：1．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB=5，AC=3，则AD的取值范围是

2. （2011安徽芜湖， ）如图，已知△ABC中， ABC 45 ， F是高AD和BE的交点，CD 4，则线段DF的长度为（ ）.

A

． B． 4 C

． D

．

3. （2011山东威海，6，3分）在△ABC中，AB＞AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F

在BC边上，连接DE,DF,EF.则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△BFD与△EDF全等（ ）．

A． EF∥AB B．BF=CF C．∠A=∠DFE D．∠B=∠DFE

4. （2011浙江衢州，1,3分）如图，OP平分 MON,PA ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA 2，则PQ的最小值为（ ）

A.1 B.2 C.3 D. 4

ON

6. （ 2011重庆江津， 22，10分）在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90º,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.

(1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF;

(2)若∠CAE=30º,求∠ACF度数.

C

F B

第22题图

7．（2011四川内江，18，9分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．

试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．

B

C

8．（2011 天一实验学校 二模）如图，已知△ABC中，AB AC 10厘米，BC 8厘米，点D为AB的中点．

（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？