哈师大附中。东北师大附中。辽宁省实验中学2012年高三第一次联合模拟考试理

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2012年三省三校联考一模理科数学答案

一．选择题

（1）A （2）D （3）C （4）A （5）D （6）B

（7）C （8）D （9）A （10）A （11）D （12）D

二．填空题

（13）16

3 （14

）4 （15

） ) （16）32

2

三．解答题

（17）解： （Ⅰ）由变换得f(x) 2sin 2x

. ……3分 6

所以T

由2x 2 2 ； 6 k

2,k Z，得对称轴为x k

2

6,k Z. ……6分

（Ⅱ）由f(C) 2得sin(2C

6) 1，又C (0, )，可得C

6. ……8分

在 ABC中，根据余弦定理，有

222c 1 a b 2abcos，即a2 b2 7， ……10分 6

联立ab 23，及a b，可得 a 2,b

（18）解： 3. ……12分

（Ⅰ）依题意及频率分布直方图知，居民月收入在[1500,2000)的概率约为 0.0004 500 0.2． ……2分 （Ⅱ）频率分布直方图知，中位数在[2000,2500)，设中位数为x，则 0.0002 500 0.0004 500 0.0005 (x 2000) 0.5， 解得x 2400． ……6分 （Ⅲ）居民月收入在[2500,3500)的概率为(0.0005 0.0003) 500 0.4. 由题意知，X～B(3,0.4)， ……8分

0312因此P(X 0) C3 0.6 0.216，P(X 1) C3 0.6 0.4 0.432，

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P(X 2) C3 0.6 0.4 0.288，P(X 3) C3 0.4 0.064， 2233故随机变量X的分布列为

……10分

X的数学期望为E(X) 0 0.216 1 0.432 2 0.288 3 0.064 1.2.……12分

（19）解：

（Ⅰ）AD AE, DAE 60 △DAE为等边三角形，设AD 1，则 DE 1,CE CD 2, DEC 90， 即CE DE． ……3分

' DD 底面ABCD， CE 平面ABCD， CE DD.

CE DE 'CE 平面DDE 'CE DD CE DF . ……6分 'DF 平面DDE 'DE DD D

（Ⅱ）取AE中点H，则AD AE

则DH AB，DH CD. 1

2AB

，又 DAE

60,所以△DAE为等边三角形. 分别以DH、DC、DD'所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设AD 1,

1113,0),A

,0),D'(0,0,3),F,),C(0,2,0) 2222442

则D(0,0,0),E EF ( 13 3, ,),AE (0,1,0),CE (,

,0). 44222

设平面AEF的法向量为n1 (x,y,z)，

13x y z 0 则 4 42

y 0

取n1 0,1). ……8分

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平面CEF的法向量为n2 (x,y,z)，

13x y z 0 442则

3x y 0 22 取n2 3,2). ……10分

20 4013cos n1,n2 xy.

所以二面角A EF

C的余弦值为

（20）解： （Ⅰ）依题意知1 p2 5

413. ……12分 ，解得p 1

2.

所以曲线C的方程为x2 y. ……4分 （Ⅱ）由题意直线PQ的方程为：y k(x 1) 1，则点M(1

y k(x 1) 12联立方程组 ，消去y得x kx k 1 0 2 y x1k,0)

得Q(k 1,(k 1)). ……6分 所以得直线QN的方程为y (k 1)

2代入曲线y x，得x 2221k(x k 1). 21

k

1

kx 1 21k (1 k) 0. 解得N(1 1

k k,(1 k )). ……8分

(1 k 1

k)2(1 k

1

k )k1k)2所以直线MN的斜率kMN

(1 1

k. ……10分

k) (1

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过点N的切线的斜率k' 2(1 k

(1 k 1

k)21k). 由题意有

1

2k5 2(1 k 1k). 解得k . 故存在实数k

（21）解： 1 25使命题成立． ……12分

（Ⅰ）a 1，f(x) 1 x

1 xlnx，定义域为(0,1) (1, )．

f (x) 2lnx

(1 x)2 1 x(1 x)x

22lnx 1 xx22(1 x)． ……2分 设g(x) 2lnx 1 x

x，则g (x) (x 1)

x22．

因为x 0，g (x) 0，所以g(x)在(0, )上是减函数，又g(1) 0，于是 x (0,1)，g(x) 0，f (x) 0；x (1, )，g(x) 0，f (x) 0． 所以f(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1, )． ……6分 （Ⅱ）由已知a 0，因为x (0,1)，所以1 x

1 xlnx 0．

（1）当a 0时，f(x) 0．不合题意． ……8分

（2）当a 0时，x (0,1)，由f(x) 2，可得lnx

2a(1 x)

1 x2a(1 x)1 x2 0． 设h(x) lnx ，则x (0,1)，h(x) 0．h (x) x (2 4a)x 1

x(1 x)2．

设m(x) x (2 4a)x 1，方程m(x) 0的判别式 16a(a 1)． 若a (0,1]， 0，m(x) 0，h (x) 0，h(x)在(0,1)上是增函数， 又h(1) 0，所以x (0,1)，h(x) 0． ……10分 2

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若a (1, )， 0，m(0) 1 0，m(1) 4(1 a) 0，所以存在x0 (0,1)，使得

对任意x (x0,1)，又h(1) 0，m(x0) 0，m(x) 0，h (x) 0，h(x)在(x0,1)上是减函数，

所以x (x0,1)，h(x) 0．不合题意．

综上，实数a的取值范围是(0,1]． …… 此处隐藏：1319字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……