2012高考总复习《走向清华北大》精品课件12函数与方程

第十二讲函数与方程

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1.函数的零点 (1)对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.

(2)方程f(x)=0有解 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点. (3)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的

根.

2.二分法 (1)对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间

的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

(2)给定精确度ε,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下: 1)确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε. 2)求区间(a,b)的中点x1. 3)计算f(x1),

a.若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;b.若f(a)f(x1)<0,则令b=x1,(此时零点x0∈(a,x1)); c.若f(x1)f(b)<0,则令a=x1,(此时零点x0∈(x1,b)).

4)判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复2)~4).

考点陪练

1.(2010·天津)函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是 ( A.(-2,-1) C.(0,1) B.(-1,0) D.(1,2) )

解析:由于f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,根据函数的零点存在性定理,知函数f(x)的零点在区间(0,1)内,选C.

答案:C

2.(2010·江苏盐城)方程log4x+x=7的解所在区间是 ( A.(1,2) B.(3,4) )

C.(5,6)

D.(6,7)

解析:构造函数F(x)=log4x+x-7,F(5)=log45-2<0,F(6)=log461>0,F(x)在(5,6)内有零点,即log4x+x=7在(5,6)内有解,故选 C.答案:C

2 3.函数f x lnx 零点所在区间大致是( ) x A. 1, 2 B. 2,3 1 C. 1, 和 3, 4 e D. e,

解析:因为f(1)=-2<0,f(2)=ln2-1<0,所以在(1,2)内f(x)无零点,A2错误;又f(3)=ln3- 3 0,所以f(2)·f(3)<0,所以f(x)在(2,3)内

至少有一个零点.答案:B

4.若函数f(x)=x2+2x+a没有零点,则实数a的取值范围是() A.a<1 C.a≤1 B.a>1 D.a≥1

解析:由方程x2+2x+a=0的判别式小于0可得a>1.答案:B

5.三次方程x3+x2-2x-1=0在下列哪些连续整数之间没有根 ( A.-2与-1之间 B.-1与0之间 C.0与1之间 D.1与2之间解析:∵f(-2)·f(-1)<0,f(-1)·f(0)<0,f(1)·f(2)<0,∴f(x)在(-2,1),(-1,0),(1,2)内均有根.故只有C选项符合题意. )

答案:C

类型一

函数零点存在性的判断与方法

解题准备:函数零点个数的判定有下列几种方法: (1)直接求零点:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.

(2)零点存在性定理:利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续的曲线,且f(a) f(b)<0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点. (3)画两个函数图象,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.

【典例1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点. (

1)f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]; (2)f(x)=x3-x-1,x∈[-1,2]; (3)f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3]; (4)f(x)=

1 -x,x∈(0,1). x

[解](1)∵f(1)=-20<0,f(8)=22>0,∴f(1)·f(8)<0,故f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]上存在零点.

(2)∵f(-1)=-1<0,f(2)=5>0,∴f(-1)·f(2)<0,∴f(x)=x3-x-1在区间[-1,2]上存在零点.

(3)∵f(1)=log2(1+2)-1>log22-1=0, f(3)=log2(3+2)-3<log28-3=0,∴f(1)·f(3)<0,故f(x)=log2(x+2)-x在区间[1,3]上存在零点.

1 (4)画出f(x)= -x的图象如图所示. x