2011年高考数学总复习精品课件(苏教版)：第九单元第七节 双曲线

高考数学 文科一轮复习

第七节 双曲线基础梳理1. 双曲线的定义 (1)平面内动点的轨迹是双曲线必须满足两个条件： ①到两个定点F1、F2的距离的 差的绝对值等于常数2a; ②2a<F1F2. (2)上述双曲线的焦点是 F1,F2 ,焦距是 F1F2 . 2. 双曲线的标准方程和几何性质

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标准方程 图形

x2 y2 = 1(a > 0,b > 0) a2 b2

y x2 2 = 1(a > 0,b > 0) a2 b

2

范围 对称性 性 顶点 质 渐进性 离心率 实虚轴 a、b、c 的关系

x ≥ a或 x ≤ a , y ∈ R对称轴：坐标轴 对称中心：原点

x ∈ R, y ≤ a或y ≥ a对称轴：坐标轴 对称中心：原点

顶点坐标：A1 ( a,0), A2 ( a,0)

顶点坐标：A1 (0, a), A2 (0, a )

y=±

b x ae= c , e ∈ (1,+∞), 其中c = a 2 + b 2 a

y=±

a x b

线段A1A 2叫做双曲线的实轴，它 的长A1A 2 = 2a; 线段B1B2叫做双曲线的虚轴， 它的长B1B2 = 2b; a叫做双曲线的实半轴长 ，b叫做双曲线的虚半周长

c 2 = a 2 + b 2 (c > a > 0, c > b > 0)

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3. 等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为 x2-y2=λ(λ≠0),离心率e= 2 ,渐近线方程为y=±x.

典例分析题型一 双曲线的定义及标准方程

【例1】已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切，与圆C2: (x-4)2+y2=2内切，求动圆圆心M的轨迹方程.

分析 设动圆M的半径为r,则MC1=r+r1,MC2=r-r2,则 MC1-MC2=r1+r2=定值，故可用双曲线定义求解轨迹方程.

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解 由题意易知圆M如图所示.设动圆M的半径为r, 则由已知得MC1=r+ 2 , MC2=r- 2 , ∴MC1-MC2=2 2. 又C1(-4,0),C2(4,0), ∴C1C2=8,∴2 2<C1C2. 根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(-4,0),C2(4,0)为焦点的 双曲线的右支. ∵a= 2,c=4,∴b2=c2-a2=14, x2 y2 (x≥2). ∴点M的轨迹方程是 = 1 2 14

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学后反思 (1)求动点的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件 探求轨迹的曲线类型，再用定义法或参数法来求轨迹方程. (2)在运用双曲线定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝 对值”,弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支.若是 一支，是哪一支.

举一反三1. 如图，已知圆A的方程为(x+3)2+y2=4,定点C(3,0),求过点C 且和圆A外切的动圆的圆心P的轨迹方程. 解析: 依题意得PA-PC=2.又PA>PC,且AC=6>2, 由双曲线的定义知，点P的轨迹是以A,C为焦点的 双曲线的右支. 故点P的轨迹方程为x2y2 =1(x≥1). 8

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题型二 双曲线的几何性质 2 x y2 【例2】F1,F2为双曲线 2 2 = 1(a > 0,b > 0)的焦点，过F2作 a b 垂直于x轴的直线交双曲线于点P且∠PF1F2=30°,求双曲线的 渐近线方程. 分析 由∠PF1F2=30°,结合双曲线定义分析PF1、PF2、F1F2三边 关系，求出a、b间的关系，进而得出渐近线方程. 解 设PF2=m,所以PF1=2m. ∴F1F2=2c=3m,PF1-PF2=2a=m, 2 2 b2 c 2=3= a + b ∴e= = 3,∴e = 1+ 2 , 2 a a a

b2 b x2 y2 ∴ = 2, 2 2 = 1 的渐近线方程

为y=±2x. ∴ ∴ 2 = 2, a a a b

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学后反思 充分利用重要的焦点三角形 PF1F2 中三边关系和双 曲线渐近线的定义，可迅速求解.

举一反三y 2 x2 2. (2009·陕西改编)已知双曲线C的方程为 2 =1 2 a a 5 ,顶点到渐近线的距离为 2 5 , (a>0,b>0),离心率e=求双曲线C的方程.25

解析： 由题意知，双曲线C的顶点(0,a)到渐近线ax-by=0的 距离为 ∴ 由ab2 5 5

a 2 + b2

=

2 5 5

,即 ab = 2 5c

ab 2 5 ,得 = 5 c c 5 = 2 a c 2 = a 2 + b 2

b=1, c=5.

a=2,y2 ∴双曲线C的方程为 x2 = 1 4

5

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题型三

直线与双曲线

【例3】(14分) 求经过点( 1 ,2) 且与双曲线 4 x 2 y 2 = 1 仅有一个公共点 的直线方程.2

分析 将直线方程设出代入双曲线方程，消y,可得关于x的 方程，考虑到直线与双曲线只有一个公共点,因此，必须分 所得方程是一次还是二次方程来讨论求解. 解 若直线的斜率存在，设为k, 1 则所求直线方程为y-2=k(x),…………………2′ 2 1 由 y 2 = k x ①2 4 x 2 y 2 = 1

②

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将①代入②整理，得

(4 k ) x2

2

1 1 2k 2 k x k 2 2 k + 5 = 0 2 4

③………………….4′

(1)当直线与双曲线相切时，仅有一个公共点， 所以有 = 0 2 4 k ≠ 0 (k≠±2),解得k= 5 . 2 5 3 …………………………..6′ 故所求的直线方程为 y = x + 即2 4 1 2 1 2 2k 2 2 k 4 ( 4 k ) 4 k 2k + 5 = 0 2

(2)当k=2时，方程③变为一次方程，且有唯一解,因而直线①和双 曲线仅有一个公共点，故得到y=2x+1,……………………….8′

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(3)当k=-2时，同理可得直线y=-2x+3; 若斜率不存在时，因为点( 1 ,2)在直线x= 1 上且与双曲线相切，1 故所求的直线方程为x= ………………………….12′ 2 综上所述，符合题意的直线有四条，分别 5 3 1 y = x + ,y=2x+1,y=-2x+3和x= 为 …………………..14′ 2 4 22 2

学后反思 双曲线与直线的问题，往往需要设出直线方程，与 双曲线方程联立，转化为方程的根与系数间的关系问题，因此， 应注意两个问题： (1)所设直线的斜率是否存在； (2)消元后方 …… 此处隐藏：2493字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……