高三数学(理)一轮复习讲解与练习2.2函数的定义域与值域(含答案解析)

第二节 函数的定义域和值域

[备考方向要明了]

[归纳·知识整合]

1．常见基本初等函数的定义域 (1)分式函数中分母不等于零．

(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0.

(3)一次函数、二次函数的定义域均为R .

(4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R .

(5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)．

(6)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z . (7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．

2．基本初等函数的值域

(1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R .

(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：

当a >0时，值域为⎩

⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≥4ac －b 24a ； 当a <0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤4ac －b 24a .

(3)y ＝k x

(k ≠0)的值域是{y |y ≠0}． (4)y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是{y |y >0}．

(5)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R .

(6)y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1,1]．

(7)y ＝tan x 的值域是R .

[探究] 1.若函数y ＝f (x )的定义域和值域相同，则称函数y ＝f (x )是圆满函数，则函数①y ＝1x

；②y ＝2x ；③y ＝ x ；④y ＝x 2中是圆满函数的有哪几个？ 提示：①y ＝1x 的定义域和值域都是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故函数y ＝1x

是圆满函数；②y ＝2x 的定义域和值域都是R ，故函数y ＝2x 是圆满函数；③y ＝ x 的定义域和值域都是[0，＋∞)，故y ＝ x 是圆满函数；④y ＝x 2的定义域为R ，值域为[0，＋∞)，故函数y ＝x 2不是圆满函数．

2．分段函数的定义域、值域与各段上的定义域、值域之间有什么关系？

提示：分段函数的定义域、值域为各段上的定义域、值域的并集．

[自测·牛刀小试]

1．(教材习题改编)函数f (x )＝4－x x －1

的定义域为( ) A ．[－∞，4] B ．[4，＋∞)

C ．(－∞，4)

D ．(－∞，1)∪(1,4]

解析：选D 要使函数f (x )＝

4－x x －1有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ≥0，x －1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧

x ≤4，x ≠1.所以函数的定义域为(－∞，1)∪(1,4]． 2．下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是( )

A ．[2,5]

B ．N

C ．(0,20]

D ．{2,3,4,5} 解析：选D 函数值只有四个数2,3,4,5，故值域为{2,3,4,5}．

3．若f (x )＝1

log 12(2x ＋1)

，则f (x )的定义域为( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，0 B.⎝⎛⎦⎤－12，0