2015-2016学年高二数学同步教学课件：第2章+2.2.2《反证法》推理与证明(人教A版选

第二章推理与证明

第二章2.2 直接证明与间接证明2.2.2 反证法

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自主预习学案

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典例探究学案

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课 时 作 业

自主预习学案

理解反证法的概念，掌握反证法的特点及证题的步骤.

重点：反证法概念的理解以及反证法的证题步骤. 难点：反证法的应用.

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反证法

我们在立体几何证题中曾经使用过反证法，那么反证 法的定义，反证法的原理，用反证法证题的注意事项 是怎样的呢？

新知导学 1.反证法的定义 一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理， 最后得出________,因此说明假设 ________, 矛盾 错误 从而证明了原命题________,这样的证明方法 成立 叫做反证法.反证法是间接证明的一种基本方 法. 2.反证法证题的原理 (1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”. (2)用反证法解题的实质就是否定结论，导出矛 盾，从而说明原结论正确.

3.反证法常见的矛盾类型

反证法的关键是在正确的推理下得出矛 已知条件 假设 矛盾，或与 盾.这个矛盾可以是与 ________ 定义、公理、定理 ________矛盾，或与___________________、 公认的简单事实矛盾等.矛盾是在推理过程 中发现的，不是推理之前设计的.

4.反证法的适用对象 作为一种间接证明方法，反证法尤其适合证 明以下几类数学问题： (1)直接证明需分多种情况的； (2)结论本身是以否定形式出现的一类命题—— 否定性命题； (3)关于唯一性、存在性的命题； 结论 (4)________以“至多”、“至少”等形式出 现的命题； 结论 (5)条件与结论联系不够明显，直接由条件推 结论的线索不够清晰，________的反面是比

牛刀小试 1.应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把 下列哪些作为条件使用( ) ①原结论的相反判断，即假设 ②原命题的 结论 ③公理、定理、定义等 ④原命题的条件 A.①④ B.①②③ C.①③④ D.②③ [答案] C [解析] 由反证法的规则可知①③④都可作为 条件使用，故应选C.

2.(2015·郑州市登封高二期中)用反证法证 明某命题时，对其结论：“自然数a、b、c中 恰有一个偶数”正确的反设为( ) A.a、b、c都是奇数 B.a、b、c都是偶数 C.a、b、c中至少有两个偶数 D.a、b、c中至少有两个偶数或都是奇数 [答案] D [解析] “自然数a、b、c中恰有一个偶数” 即a、b、c中有两奇一偶，故其反面应为都是 奇数或两偶一奇或都是偶数，故选D.

3.如果两个实数之和为正数，则这两个数 ( ) A.一个是正数，一个是负数 B.两个都是正数 C.至少有一个正数

D.两个都是负数 [答案] C [解析] 假设两个数分别为x1、x2,且x1≤0, x2≤0,则x1+x2≤0,这与两个数之和为正数矛 盾，所以两个实数至少有一个正数，故应选C.

4.“任何三角形的外角都至少有两个钝角” 的否定应是________. [答案] 存在一个三角形，其外角最多有一个 钝角 [解析] 全称命题的否定形式为特称命题，而 “至少有两个”的否定形式为“至多有一 个”.故该命题的否定为“存在一个三角形， 其外角最多有一个钝角”.

5.用反证法证明：若函数f(x)在区间[a,b]上 是增函数，那么方程f(x)=0在区间[a,b]上至 多只有一个实数根. [解析] 证明：假设方程f(x)=0在区间[a,b] 上至少有两个根，设α、β为其中的两个实 根. 因为α≠β,不妨设α>β. 又因为函数f(x)在区间[a,b]上是增函数，所 以f(α)>f(β). 这与假设f(α)=f(β)=0矛盾， 所以方程f(x)=0在区间[a,b]上至多只有一个

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