数值分析的基础知识

郑州大学研究生课程 (2009-2010学年第一学期)

数值分析 Numerical Analysis任课教师：万建军 wanjj@http://Department of Mathematics of Zhengzhou University (郑州大学数学系)

数值分析的基础知识

课程主题讨论如何构造高效适用的计算机数值算法，来求解科学与工程中的数值计算问题。课程内容各类数值算法的构造和评价。

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基础知识微积分和常微分方程；线性代数；计算机程序设计(Fortran/C/C++/Matlab/Mathematica…)

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课程主要内容算法和误差分析；代数插值和数值微分；数据拟合法；数值积分；解线性代数方程组的直接法和迭代法；非线性方程和非线性方程组解法；常微分方程初值问题的数值解法；文献导读；4/62郑州大学研究生2009-2010学年课程数值分析 Numerical Analysis

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第一章基础知识§1.1§1.2§1.3§1.4§1.5§1.6§1.7§1.85/62

计算—第三种科学方法计算机算法及其评价浮点数系误差的基本概念数值算法的稳定性计算工具参考教材课程教学活动和计划郑州大学研究生2009-2010学年课程数值分析 Numerical Analysis

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§1.1计算—第三种科学方法“当今，科学活动可分为三种:理论、实验和计算。定义计算科学最好是通过比较它的核心活动和实验及理论的核心活动。试验科学家从事于测量和设计科学设备及利用这些设备去进行测量，致力于可控、可重复试验的设计以及分析这些试验的误差；理论科学家研究实验数据之间的关系、这些关系满足的原理(如牛顿定律、对称性原理等)及把这些原理运用到具体特殊情形所需的数学概念和技术；计算科学家构造求解科学问题的计算方法，把这些方法软件化，设计和进行试验，分析这些数值试验的误差。他们研究计算方法的数学特征，通过计算揭露所求解科学问题的基本性质和规律。”诺贝尔奖获得者、计算物理学者Wilson教授

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§1.1试验伽利略

理论牛顿

计算冯诺伊曼

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§1.1美国，1991年，HPC&C议案。(高性能计算与通讯)提出研制万亿次超级计算机、建设计算机高速通信网络，保证美国在高科技中的优势地位和竞争能力。 (打造科研基础设施)美国，1996,ASCI计划。用计算机模拟代替核试验。日本，“超级计算-日本的生存之路”。欧洲，“欧洲工业进取计划”。

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§1.1

MareNostrum巴塞罗那超级计

算中心MareNostrum是目前欧洲最强大的超级计算机，它拥有10240颗处理器，峰值计算速度能够达到94.21万亿次浮点计算。组成 MareNostrum的2560台JS21刀片式计算结点占据了大约半个篮球场(120平米)的面积，现在位于西班牙的巴塞罗那超级计算中心。 MareNostrum目前的应用相当广泛，包含人类基因的研究、天气预报、药品研究等等领域。

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§1.1

Red Storm美国圣地亚国家实验室Red Storm是Cray公司和圣地亚国家实验室联合设计的并行处理超级计算机，其主要应用是模拟测试核武器的储备情况，包括设计替换的成分、模拟测试在不同环境下各个部分的情况、帮助武器工程师和科学家进行辅助计算等等。 Red Storm由12960台配备AMD皓龙(Opteron)处理器的节点组成，峰值运算速度能够达到124.42万亿次浮点计算。这台超级计算机仅仅使用了一套小型的Linux操作系统，只具有一些能够支持Red Storm应用的功能。

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§1.1

Blue Gene/L美国劳伦斯利弗莫尔国家实验室Blue Gene/L是目前世界常最快的超级计算机，其峰值速度能够达到360万亿次浮点计算。这台超级计算机内部拥有65536颗处理器，同样运行着Linux操作系统。这是IBM公司、利弗莫尔实验室和美国能源部联合制作完成的超级计算机，由于采用了基于单元的设计结构，使之能够随时添加计算单元而不需要担心遭遇瓶颈的问题。最近，Blue Gene/L因为执行一项与半个老鼠大脑一样复杂的脑皮层模拟而被进一步关注，半个老鼠大脑拥有800万神经元细胞，每一个细胞与其他神经纤维之间有8000个链接。除此之外，Blue Gene/L通常用来模拟包括蛋白质在内的生物化学过程。

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§1.1

魔方上海超级计算中心位于上海超级计算机中心的曙光5000A首次亮相就让中国的身影再一次跻身前十行列。该系统总计拥有30720个计算核心、122.88TB内存，通过Infiniband DDR技术互联，最大性能180.6TFlops,峰值性能233.472TFlops.据2008年统计，“魔方”上面运行的应用，包括气象预报、生物药物、生命科学、汽车、核电、钢铁、新材料、土木工程、物理、化学、航空、航天、船舶等数十个应用领域。上海市着力发展的九大高新技术产业，如商用飞机、新材料、医药、重大装备、新能源以及电动车等六个领域都将依赖高性能计算技术。未来，“魔方”将助力上海国际金融中心建设，为金融机构设计衍生产品、控制风险、提供各种计算解决方案。12/62郑州大学研究生2009-20

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§1.1

全球超级计算机Top500排行榜2008美国Los Alamos国家实验室中的IBM超级计算机 Roadrunner(走鹃)以每秒1.105千万亿次的浮点运算速度卫冕成功，再次成为世界上最快的超级计算机。榜单上中国共有15台超级计算机进入500强。

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§1.1

中国-科学计算2004年研发成功并部署在上海超级计算中心的曙光 4000A曾以11.2GFlops的峰值LINPAC性能历史性地闯入超级计算机十强; 2007年位于上海超级计算机中心的曙光5000A首次亮相就让中国的身影再一次跻身前十行列；目前最新排名为Top500的第十五位。计算数学方面，我国已故著名学者冯康先生独立于西方学者发展了有限元方法、辛几何算法等重要方法，这些方法现在已经是计算数学中具有核心地位的算法。

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§1.2计算机算法及其评价算法(Algorithm)是一系列解决问题的清晰指令。也就是说，能够对一定规范的输入，在有限时间内获得所要求的输出。算法特性□有穷性：一个算法必须保证执行有限步之后结束。□确切性：算法的每一步骤必须有确切的定义。□输入：一个算法有0个或多个输入，以刻画运算对象的初始情况。□输出：一个算法有一个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果。□可行性：算法原则上能够精确地运行，而且人们用笔和纸做有限次运算后即可完成。15/62郑州大学研究生2009-2010学年课程数值分析 Numerical Analysis

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§1.2迭代法分解法投影法数值算法降维法插值法蒙特卡罗方法有限傅里叶分析法动态规划法回溯法启发式搜索法 非数值算法分治算法分支定界神经网络遗传算法

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