3. Runge-Kutta法求解方程

3.1 题目

用Runge-Kutta 4阶算法对初值问题y’=-20*y，y(0)=1按不同步长求解，用于观察稳定区间的作用，推荐两种步长h=0.1、0.2。

注：此方程的精确解为：y=e-20x

3.2 方法介绍

通过用一些点上函数值f(x ,y)的适当线性组合，来替代Euler法中的f(xk ,yk)，从而使方法的阶数更高，这就是Runge-Kutta法的基本思想。在本次上机实习中采用的是标准4阶Runge-Kutta法，其计算形式如下：

1

yk+1=yk+[k1+2k2+2k3+k4]

k1=hf(xk,yk) hk1

k2=hf(xk+,yk+

hk2

k3=hf(xk+,yk+

k4=hf(xk+h,yk+k3)

3.3 计算结果及分析

利用FORTRAN语言编写程序program R_K（附录4），计算结果如下。

表2 不同步长计算结果对比

从上面结果中可以看出取步长h=0.1时候结果可以很好的收敛，与准确解之间的误差也越来越小，但是取h=0.2时候结果就发生了发散。说明该方法对步长的选择比较敏感。

3.4 本题小结

本题说明了采用Runge-Kutta法时候一定要选取合适的步长，否则可能造成结果很大的差异。所以我们在采用Runge-Kutta法解题的时候一定要注意情况而选择不同的步长，甚至要试用多个步长。

4. 总结

总的来说，通过完成本作业报告，我收获颇丰。

1）通过这次上机实习我知道了数值分析在计算中的重要性，我从实践的角度更为深入地掌握了拉格朗日插值法、分段低次插值法、SOR法、Runge-Kutta法等数值方法。刚开始对这些问题还不是很了解，结果在编程中让我渐渐的明白了这些方法的计算步骤，对这些方法有了更深入的了解。

2）让我对MATLAB和FORTRAN这两门语言有了更深入的理解。在学习过程中本专业很多计算方法要利用数值分析。所以我们勤加练习，在其中也发现了很多问题。这也激励着我继续的进行更深入的学习。