结构力学第五版李廉锟版 10矩阵位移法

发布时间：2021-06-06

第十章§10-1 §10-2 §10-3 §10-4

矩阵位移法概述单元刚度矩阵单元刚度矩阵的坐标转换结构的原始刚度矩阵

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§10-5 支承条件的引入 §10-6 非结点荷载的处理 §10-7 矩阵位移法的计算步骤及示例 §10-8 几点补充说明

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§10-1 概述一、手算与电算比较：手算：小型、简单问题，讲究技巧。

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超静定结构分析：力法，位移法，力矩分配法。

电算：大型、复杂问题，要求方法具有系统性、通用性。结构力学中的电算方法 —结构矩阵分析方法 (杆件有限元法) 结构矩阵分析方法是以传统结构力学理论为基础、以矩阵作为数学表述形式、以电子计算机作为计算手段大规模的计算方法。

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§10-1 概述二、结构矩阵分析方法特点与分类：

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(1) 公式推导书写简明,导出公式紧凑,形式规格化。 (2) 各种情况可统一处理，通用性强。 (3) 计算过程规范化，适合计算机进行自动化解算。矩阵力法(或称柔度法)——以力作为基本未知量。矩阵位移法(或称刚度法)——采用结点位移作为基本未知量。借助矩阵进行分析，并用计算机解决各种杆系结构受力、变形等计算的方法。

对于杆系结构，矩阵位移法因易于编制通用的计算程序。理论基础：位移法；分析工具：矩阵；计算手段：计算机

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§10-1 概述三、矩阵位移法的思路：

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1)离散，进行单元分析，建立单元杆端力和杆端位移的关系。 2)集合，进行整体分析，建立结点力与结点位移的关系。任务意义单元分析建立杆端力与杆端位移间的刚度方程，形成单元刚度矩阵用矩阵形式表示杆件的转角位移方程

整体分析

由变形条件和平衡条件建立结点力与结点位移间的刚度方程，形成整

用矩阵形式表示位移法基本方程

体刚度矩阵

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§10-1 概述四、基本概念1. 结点和单元

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单元——最基本的分析部件，最简单的单元是等截面直杆。梁单元——受轴力、还受剪力和弯矩作用则称为梁单元(梁、刚架)。轴力单元——只受轴力作用的单元(桁架)。单元与单元之间通过结点联结，结点一经确定，则单元也就全部确定了。构造结点:杆件的转折点、汇交点、支承点和截面突变点。非构造结点:一根等截面直杆内的单元与单元之间的结点。

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§10-1 概述2. 坐标系

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结构整体坐标系xoy用于描述结构整体的量—— 结点的坐标、结点的位移、作用在结构上的外力等。单元局部坐标系固定在单元上，轴与杆轴重

合,自 x x 轴逆时针旋转900时的方向为 y 轴正向。用于描述单元的杆端力和杆端位移等。2 32

3退出返回

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§10-1 概述离散化将结构离散成单元的分割点称作结点. 结点的选择:转折点、汇交点、支承点、刚度变化、荷载作用点等整体编码：单元编码、结点编码、结点位移编码。坐标系:整体(结构)坐标系;局部(单元)坐标系. 曲杆结构:以直代曲. 变截面杆结构:以等截面杆代变截面杆

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(16,17,18) 5 (13,14,15) 6

2 1

54 (10,11,12)

3 (7,8,9)

4Y X

1 (1,2,3)

2 (4,5,6)

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§10-1 概述3. 杆端位移和杆端力

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不忽略单元的轴向变形时，平面结构中每个刚结点都有3个独立的位移(2个独立线位移、1个角位移),每一个铰结点则有2个独立线位移。

平面刚架单元的杆力列向量为{F e } FNi FSi Mi FNj FSj

(10-1)

平面刚架单元的杆端位移列向量为{δe } (ui vi i u j v j j )T

(10-2)

注意：杆端力与杆端位移必定是一一对应的，即有几个杆端位移分量就有几个杆端力分量。

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§10-1 概述

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平面桁架铰结点只有两个独立的线位移，与此对应，桁架单元的杆端力只有轴力和剪力与其对应，但实际上桁架单元的剪力总是为零的，所以有FN 1 1 e 2 FN 2

{F e } FNi

杆端力向量0 FNj

0 (10-3)T

u11

u2 v2

杆端位移向量{δe } ui vi uj v j (10-4)T

其他任何单元都存在杆端力与杆端位移一一对应的关系。

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§10-1 概述4. 结点力和结点位移

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作用于结点上的所有的力的合力, 沿坐标轴方向分解为三个分量, 构成该结点的结点力向量。与结点力向量对应的是结点位移向量，是矩阵位移法的基本未知量。注意：结点力和结点位移都是相对于整体坐标系的。

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§10-1 概述5. 正负号规定(强调)杆端位移和杆端力的正负号：

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凡是与单元坐标轴方向一致的位移和力均为正值，

反之为负值。力矩和转角以逆时针方向为正，反之为负。作用在结点上的外力和结点位移的正负号：

与整体坐标系方向一致的结点力和结点位移为正，反之为负。以逆时针转的结点力矩和结点转角为正值,反之为负值。

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§10-1 概述重点：矩阵位移法基本思想化整为零 ------ 结构离散化将结构拆成杆件，杆件称作单元。单元的连接点称作结点。5

结构力学66

对单元和结点编码. 基本未知量:结点位移单元杆端力

----- 单元分析

单元杆端位移------ 整体分析e

集零为整结点外力

单元杆端力结点外力单元杆端位移

(杆端位移=结点位移) 结点外力结点位移

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§10-2 单元刚度矩阵

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1. 建立单元杆端力与杆端位移之间的关系截面直杆单元e , 其杆端位移列向量与杆端力列向量分别为 T {δ e } uie vie i e u je v je je e e e e {F e } Fxi Fyi M ie Fxj Fyj

Me j

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§10-2 单元刚度矩阵在线性小位移范围内，忽略轴向受力状态与弯曲向受力状态之间的影响。

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u 当杆端轴向位移为 u ie 、 je 时， ij u je uie ,由胡克 Δl 定律得杆件轴向变形的刚度方程为EA e EA e EA e e F (u j ui ) ui u j l l l EA e EA e EA e e Fxj (u j uie ) ui u j l l l e xi

(a)

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§10-2 单元刚度矩阵杆端横向位移△ij正负号规定:使杆的j 端绕 i 端作顺时针转时为正值。

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Δij (v je vie )由两端固定等截面直杆的转角位移方程有6 EI e 4 EI e 6 EI e 2 EI e M 4i i 2i 6i 2 vi i 2 v j j l l l l l e e (v j vi ) 6 EI e 2 EI e 6 EI e 4 EI e e e e M j 2i i 4i j 6i 2 vi i 2 v j j l l l l l e 12 EI 6 EI 12 EI 6 EI F yi 3 vie 2 i e 3 v je 2 je l l l l e 12 EI e 6 EI e 12 EI e 6 EI e F yj 3 vi 2 i 3 v j 2 j (b) l l l l e i e e j

(v je vie )

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§10-2 单元刚度矩阵 Fxie Fe yi M e i Fe xj Fe yj M e j

结构力学EA l 0 0 EA l 0 0 6 EI l2 2 EI l 0 6 EI 2 l 4 EI l u ie ve i e i u je v je e j

将上述(a)和(b)两式合在一起，写成矩阵形式，有 EA 0 l 12 EI 0 l3 6 EI 0 l2 EA 0 l 12 EI 0 3 l 6 EI 0 l2 0 6 EI l2 4 EI l 0 6 EI l2 2 EI l 0 0 12 EI l3 6 EI 2 l 0 12 EI l3 6 EI 2 l

——单元在局部坐标系中的单元刚度方程。它可记为

{F e } [K e ]{δ e }退出返回

(10-6a)

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§10-2 单元刚度矩阵其中ui 1vi 1 i 10 12 EI l3 6 EI l2 0 12 EI l3 6 EI l2 0 6 EI l2 4 EI l 0 6 EI l2 2 EI l

结构力学u j 1 v j

1 j 1 EA l 0 0 EA l 0 0 12 EI 6 EI 3 l l2 6 EI 2 EI 2 l l 0 0 12 EI 6 EI 2 l3 l 6 EI 4 EI 2 l l 6 6 0 0

EA l 0 0 e [K ] EA l 0 0

(10-7)

[ K e ]称为局部坐标系中的单元刚度矩阵(简称单刚)。

[ K e ] 的行数等于杆端力向量的分量数, 列数等于杆端位移向量的分量数，