复杂重磁异常多阶段决策的最优化反演(3)

±;当n=3时,f3(x)有5个极值点x=0,x=4±,x=±等。随着谐波次数增加,曲线形态愈46复杂,极值点也愈多。这好比目标函数<在小尺度时是复杂的多极值函数,随着尺度增大(相当于谐波次数减小),<变简单了。通常目标函数是复杂的多极值函数,相当于是大谐波次数的傅里叶展开,真正的极小用最优化方法不容易找到。随着谐波次数减小,目标函数的傅里叶展开就越来越简单粗略,极值点也越来越少,用最优化方法也就越容易找到。傅里叶展开中的大谐波次数相当于小波中的小尺度,而小谐波次数相当于大尺度。因而,可先用大尺度分解目标函数,粗略找出目标函数的极小,再逐次用小尺度分解,最终找到真正的极小。这样就能够克服直接用复杂的目标函数去求极小不易收敛的缺点

。

(4)判断所得结果是否满足这一分解尺度精度

要求。若满足则完成这一尺度反演,否则返回(1)。

(5)判断尺度是否为零,如为零则完成反演;否则,把尺度减1,并把由第四步得到的模型作为初始模型转第一步。

我们试算了大量模型,有两个板状体、三个板状体和多个板状体组合成凹陷—隆起模型;也给出不同初值,并在理论值上加入随机干扰;还采用了L1范数和L2范数两种不同计算方法。下面仅给出其中一个模型的试算结果:水平方向上相互叠加的两个下延有限倾斜板状体模型,板状体大小、位置、磁性参数、初值及反演结果如图2所示。采用Harr小波,最大尺度为4,迭代精度为10-4,待反演未知参数有14个,即两个模型的参数:板状体上顶中心位置坐标(Xi,Zi),板宽度2bi,2li,有效磁化倾角is

i,i,Αi(i=1,2)。

图1　目标函数多尺度分解示意图(n是谐波次数)

最优化反演的多阶段决策

多级系统的分步最优化常用的方法是Bellman(1957,1962)提出的“动态规划”,它采用多阶段决策

图2　板状体模型不同方法反演结果

①理论模型和多尺度反演结果;②初始模型;

③阻尼最小二乘法反演结果;④模型理论值及多尺度反演拟合值;⑤初始模型产生的场

的方法来实现序列系统的决策最优化。本文的最优化反演过程的多阶段决策与Bellman的动态规划有所区别,我们利用多级系统的分步最优化思想,把复杂的重磁异常最优化问题分解为多阶段决策问题,每一阶段目标函数是通过小波多尺度分解来实现的。其具体方法如下。

(1)对目标函数的非线性问题线性化,求Jacobi矩阵及残差。

(2)对Jacobi矩阵及残差向量进行多尺度分解,并形成新的核函数矩阵和残差向量。

(3)用奇异值分解法求取模型修正量。

　　由图2可以看出,尽管理论模型的磁场曲线不具明显双峰值异常特征,但多尺度反演结果很好地收敛到理论模型的位置。有效磁化倾角isi与有效磁化强度Msi如下所示