用常规的阻尼最小二乘法和广义逆矩阵法反演由多个地质体产生的复杂重磁异常, 往往不收敛。采用非线性规划的多阶段决策方法对目标函数作小波多尺度分解, 由大尺度到小尺度逐次反演, 消除了目标函数的冗余度, 并克服了目标函数的复杂性。

350石油地球物理勘探

m

2002年　

对于多个地质体组合产生的复杂多峰值异常,上述求解重磁反问题的最优化方法的效果更差。

20世纪80年代初,Backus2Gilbert反演理论得到广泛应用。虽然算法相对优越的广义逆矩阵方法、正则化方法开始用来求解较复杂的重磁异常反问题,但大多停留在二度问题上(Pedersen,1977,1979;刘天佑,1982),并且对于复杂异常的反演能力仍十分有限。近30年来,求解复杂重磁异常反问题的最优化方法停滞不前的原因,一方面固然是国家对固体矿产勘探投入减少,对主要用于反演解释孤立地质体(如岩体或脉状、囊状矿体)的最优化反演方法研究不多,另一方面则是由于方法本身局限性,它无法解决多个地质体产生的复杂异常的反演。

20世纪90年代以来,小波分析方法在地球物理数据处理领域得到广泛应用,人们用小波多尺度分解来分离区域重磁场(侯遵泽,杨文采,1997;高德章,1999)、对大地电磁资料进行多尺度反演(徐义贤,1998)、(朱成宏,1999)。

<=

∑

k=1

Tk-f(x,b1,b2,…,bn)

2

(1)

其中: Tk(k=1,2,…,m)是观测值;f(x,b1,b2,…,

bn)是n个未知参数b1,b2,…,bn产生的模型理论值。把f在bi0展开为泰勒级数并略去二次及二次以上项,则有

m

()

　　<=

∑

k=1

Tk-(0)

f

(0)

(k)+

(0)

b1

1+…+

(2) n

bn

其中:bi=bi(0)+ i,bi(0)为初值; i为bi的修改量。求<

+

2

的极小,由此可得到法方程组的矩阵形式

A =g

(3)

式中

An×n=PP　　　Pm×n=

T

(0)

(0)

g×1)

,,得到模型参数的修改值。通过,最后可得与观测值最佳拟合的一组模型参数,以此作为最优化问题的解,这就是通常所称的高斯法。阻尼最小二乘法则把式(3)改写成

(A+ΚI) 0=g

(4)

策问题,解来实现的。经过分析得知,阻尼最小二乘法等用来求解复杂重磁异常不收敛的原因,是由于目标函数不是简单的凸函数;目标函数的复杂性不仅与参数空间的维数有关,而且与参与计算的采样点数有关。为此,我们采用多阶段决策方法来实现复杂重磁异常的最优化反演。

式中:I为单位矩阵;Κ为阻尼因子。

文献[1]曾经探讨了二度板状体模型目标函数形态与板状体参数的关系,说明了目标函数不是由简单二次型造成多解性的主要原因。当目标函数有多个峰值时,若初值选择靠近某个极小,迭代结果就可能趋近这个极小,而这个极小并非所要求的解。由于<的复杂性,取不同初值或用不同方法进行计算,就可以出现不同的解,这时便出现多解性。

小波多尺度分解使我们可以采用由粗到细的策略来寻求目标函数真正的极小。我们以二次函数

2

)展开为傅里叶级数为例,来≤x≤Πf(x)=x(-Π

形象说明不同谐波次数与次极值点的关系,以及用

多尺度分解方法寻找目标函数极值的可能性。f(x)=x2可以表示为

2

n+1　f(x)=-4∑2

3n12

-+-…=-422

31232

　　由图1不难看出:当n=1时,f1(x)有一个极值点x=0;当n=2时,f2(x)有3个极值点x=0,x=

小波和目标函数的多尺度分析

近10年来,随着小波分析方法在地球物理勘探领域的广泛应用,其原理已为大家所熟知[2],[3]。小波的多尺度分析是Mallat根据多尺度分析理论发展起来的一种方法。通常,图像的细节以不同的分辨率描述了景象的不同物理结构。在粗的分辨率下,这些细节对应了较大的结构,它们提供图像粗的轮廓。因此,很自然地,先用粗的分辨率分析图像,然后再逐渐提高分辨率,这种由粗到细的策略对于诸如模式识别算法等问题是非常有用的。

重磁异常反演的最优化选择法可以归结为对如下目标函数求极小问题

∞