【一本通】2014届高考数学一轮复习 第2章 第11讲 二次函数课件 理

1.已知二次函数f(x)的二次项系数为1,且满 x2-2x-1 足f(1-x)=f(1+x),f(2)=-1,则f(x)=__________. 2.若函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3是偶函数，则 (-∞,0) f(x)的单调增区间为__________. 3.若函数f(x)=x2+2x+3a没有零点，则实数a 1 的取值范围是___________. ( , ) 3

4.已知函数f x 4x mx 5在[ 2, )上 2

是增函数，则f 1 的取值范围是 [25,+∞) . m 解析：由题意可知对称轴x 2,所以 8 m 16,所以f 1 9 m 25.

5.若关于x的方程ax2+2x+1=0只有负数解，则实数a的取值范围是_______. 0,1] [

1 解析：当a 0时，原方程有负数解x ; 2 当a 0时，原方程只有负数解，设两负数解 4 4a 0 2 为x1,x2,则 x1 x2 0,所以0<a 1. a 1 x1 x2 a 0 综上所述， a 1. 0

二次函数的解析式【例1】

已知函数f(x)=ax2 +a2x+2b-a3 ,当x∈(-2,6)时，f(x)>0,当x∈(-∞,- 2)∪(6,+∞)时，f(x)<0,且f(0)=48, 求f(x).

【解析】依题意知函数f x 的图象是抛物 线，且开口向下，故a 0,且x=-2和x =6是f x =0的两个根， 则设函数f x =a ( x+2)( x-6)=ax 2-4ax-12a, a 2 4a a 4 比较得 ,解得 . 3 2b a 12a b 8 2 所以f x =-4x +16x+48.

二次函数的表示方法有三种：一般

式：y=ax2 +bx+c(a≠0);顶点式：y=a(x-b)2 +c(a≠0);交点式y=a(x-x1)(x -x2)(a≠0).根据条件可任选一种来表

示二次函数.本题采用了交点式.根据题目条件，也可以采用顶点式，因为x =-2或6是f(x)=0的两个根，所以x=2 是其对称轴方程，

f ( 2) 0 于是设f x =a ( x-2) +c.由 , f (0) 48 16a c 0 a 4 即 ,得 , 4a c 48 c 64 所以f x =-4x 2+16x+48.2

【变式练习1】

已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.

(1)求f(x)的解析式；(2)在区间[-1,1]上，函数f(x)的图象 恒在直线y=2x+m的上方，求实数m

的取值范围.

【解析】1 设函数f x =ax 2+bx+1(a 0), 则a ( x+1) +b( x+1)+1=ax +bx+1+2x,2 2

2a b b 2 a 1 整理得 ,解得 . a b 1 1 b 1 2 所以f x =x -x+1. 2 当x [-1,1]时，由x 2-x+1 2x+m, 得x 2-3x m-1.当x=1时， 2-3x) min =-2, (x 所以m-1 -2,则m -1.故实数m的取值 范围是(- ,-1).

二次函数的零点分布【例2】已知函数f(x)=x2 +2mx+2m+1的

零点都在区间(0,1)上，求实数m的取值范围.

【解析】函数f x =x 2

+2mx+2m+1的零点都在 区间 0,1 上，即函数f x =x 2+2mx+2m+1的图 象与x轴的交点都在 0,1 上，根据图象列出不等 0 m 1 2或m 1 2 0 m 1 式组 ,解得 1 m 0 , f (0) 0 1 f (1) 0 m 2 1 所以- m 1- 2, 2 1 所以实数m的取值范围是(- ,1- 2] 2

二次函数的零点分布也即二次方程实

根分布，若两个零点分布在同一区间，则其充要条件包含三个方面，即判别式大于 等于0、对称轴在该区间上、区间端点的函

数值的符号(根据图象判断);若两个零点分布在两个不同区间，则其充要条件包含 一个方面，即区间端点的函数值的符号(根 据图象判断).

【变式练习2】 已知函数f(x)=x2 +2mx+2m+1的 在区间(-1,0)和(1,2)内各有一个零

点，求实数m的取值范围.

【解析】函数f x =x 2+2mx+2m+1的零点分 别在区间(-1,0)和 1, 2 上，即函数f x =x 2+ 2mx+2m+1的图象与x轴的交点一个在(-1,0) 上，一个在 1, 2 上，根据图象列出不等式组 f 1 2 0 1 f 0 2m 1 0 m 2 ,解得 , f 1 4m 2 0 m 5 f 2 6m 5 0 6 5 1 所以- m - , 6 2 5 1 所以实数m的取值范围是(- ,- ). 6 2