2012年初中数学教师业务考试模拟试题

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题（每小题5分，共40分，请将唯一正确的答案代号填在第3页的答题卷上）

1. 使分式

2. 如右图是初三（2）班同学的一次体检中每分钟心跳次数的频率分

布直方图（次数均为整数）.已知该班只有5位同学的心跳每分钟人数75次，请观察右图，指出下列说法中错误的是（ ） ．．

（A） 数据75落在第2小组 （B） 数据75一定是中位数

（C） 心跳为每分钟75次的人数占该班体检人数的（D） 第4小组的频率为0.1.

x x

的值为零的x的一个值可以是 2

x x

（A）－3 （B）－1 （C）0 （D）1

1 12

次数

第2

题图

3. 如右图三个半圆的半径均为R，它们的圆心A、B、

C在一条直线上,且每一个半圆的圆心都在另一个

半圆的圆周上,⊙D与这三个半圆均相切，设⊙D的半径为r，则R：r的值为

（A）15：4 （B）11：3 （C）4：1 （D）3：1

22

4. x y是x y的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分条件又非必要条件

5. 某旅馆底层客房比二层客房少5间，某旅游团有48人，若全部安排住底层，每间住4人，房间不够；

每间住5人，有的房间住不满.又若全部安排住二层，每间住3人，房间不够；每间住4人，有的房

间没有住满.则这家旅馆的底层共有房间数为

（A）9 （B）10 （C）11 （D）12

6. 已知线段AB=10，点P在线段AB上运动（不包括A、B两个端点），在线段AB的同侧分别以AP

和PB为边作正 APC和正 BPD，则CD的长度的最小值为 （A）4 （B）5 （C）6 （D

） 51）

7. 已知a、b是不全为零的实数，则关于x的方程x2 (a b)x a2 b2 0的根的情况为

（A）有两个负根 （B）有两个正根 （C）有两个异号的实根 （D）无实根

8. 已知点C在一次函数y x 2的图象上，若点C与点A（－1，0）、B（1，0）构成RtΔABC，则这样的点C的个数为

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分，将答案直接填在第三页的答题卷上）

9. 多项式x2 y2 4x 2y 8的最小值为 .

10. 方程x 3x

11. 如右图，已知点P为正方形ABCD内一点，且PA=PB=5cm，点P到边CD

的距离也为5cm，则正方形ABCD的面积为 * cm2.

12. 如右图，已知半圆O的直径AB=6，点C、D是半圆的两个三等份点，

则弦BC、BD和弧CD围成的图形的面积为 * .(结果可含有 )

2

3

9的全体实数根之积为 * .

x2 3x 7

C

P

A

B

13. 若a b c 0，且a b c，则

c

的取值范围为 * . a

22012年初中数学教师业务考试模拟试题答卷

9．

三、解答题（共7小题，满分85分.解答应写出必要文字说明、演算步骤和证明过程）

122

14. （本题满分10分）设实数a、b满足a 8a 6 0及6b 8b 1 0，求ab 的值.

ab

15. （本题满分10分）某制糖厂2003年制糖5万吨，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么从

2003年起，约几年内可使总产量达到30万吨？（结果保留到个位，可使用计算器，没带计算器的

老师可参考如下数据：1.1 1.46，1.1 1.61，1.1 1.772）

（本题满分12分）已知O为ΔABC的外心，I为ΔABC的内心，若∠A+∠BIC+∠BOC=3980，求∠A、∠BIC和∠BOC的大小.

16. （本题满分12分）某企业投资100万元引进一条农产品加工线，若不计维修、保养费用，预计投产

后每年可创利33万元，该生产线投产后，从第1年到第x年的维修、保养费用累计为y万元，且

4

5

6

y ax2 bx，若第1年的维修、保养费为2万元，第2年的为4万元

（1） 求二次函数y的解析式.

（2） 投产后，这个企业在第几年就能收回投资并开始赢利. 17. （本题满分13分）已知⊙O1和⊙O2外切于A（如图1），BC是它们的一条外公切线，B、C分别为

切点，连接AB、AC， （1） 求证：AB⊥AC

（2） 将两圆外公切线BC变为⊙O1的切线，且为⊙O2的割线BCD（如图2），其它条件不变，猜

想∠BAC+ ∠BAD的大小，并加以证明.

（3） 将两圆外切变为两圆相交于A、D（如图3），其它条件不变，猜想：∠BAC+∠BDC的大小？

并加以证明.

18. （本题满分14分）如图，已知⊙O的半径为1，AB、CD都是它的直径，∠AOD=600，点P在劣弧

DB上运动变化，

（1） 问 APC的大小随点P的变化而变化？若不变化，说明理由，若变化，求出其变化范围.

（2） 线段PA+PC的长度大小随点P的变化而变化？若不变化，说明理由，若变化，求出其变化

范围.

19. （本题满分14分）已知两个二次函数y x2 bx a和y x2 ax b(a 0 b)图象分别与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻的两点间的距离都相等,求实数a，b的值.

2012年初中数学教师业务考试模拟试题参考答案

二、

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

3 c1

9．3 10. 60 11. 64 12. 13. 2

2a2

三、解答题

1212

14. 解: 由于6b 8b 1 0，则b 0，则() 8 6 0（1分）

bb

1112

当a 时,，则a,为方程x 8x 6 0的两个根（3分），不妨设x1 a，x2 ,

bbb

1x1x2(x1 x2)2 2x1x264 1226则x1 x2 8,x1x2 6,（5分），所以ab （7分）

abx2x1x1x263

11

时，即ab 1,因此ab =2.（10分） bab

112611

综上：当a 时，ab =； 当a 时， ab =2（10分）

bab3bab

注：没有综述但其它均正确者不扣分.另直接求出a,b的值再计算也可以

当a

15. 解：设an表示制糖厂第n年的制糖量(1分)，则a1 5，…an 5 1.1n 1(5a2 5 1.1，a3 5 1.12，

5(1 1.1n)

30(9分),分)，显然 an 是公比为1.1的等比数列(7分)，设n年内的总产量达到30万吨，则

1 1.1

n

则1.1 1.6,所以n 5(11分),答:经过5年可使总产量达到30万吨.(12分)

16. 解: 当∠A 90时，显然∠BOC=2∠A,(1分) ∠BIC=1800－∠IBC－∠ICB=1800－

111

(∠ABC+∠ACB)= 1800－(1800－∠A)=900+∠A (2分) 222

由于∠A+∠BIC+∠BOC=3980,则∠A+900+∴∠BOC=2∠A=1760(5分) ∠BIC=900+

1

∠A+2∠A=3980 (3分) 解之得∠A=880 (4分) 2

1

∠A=1340 (6分) 2

1

∠A（8分），则 2

当∠A为钝角时，∠BOC=2（1800－∠A）=3600－2∠A(7分)，∠BIC=900+∠A+900+

10

∠A+360－2∠A=3980，解得∠A=1040（9分），∠BOC=3600－2∠A=1520（10分）， 21

∠BIC=900+∠A=1420（11分）

2

故∠A=880,∠BOC=1760, ∠BIC=1340或∠A=1040，∠BOC=1520, ∠BIC=1420（12分）

注：只有一个正确结果者扣6分. 17.解: (1) 依题意得

a b 2 a 1

,(2分)解之得 (4分)即函数解析式为y x2 x(6分).

4a 2b 4 2 b 1

2

(2)当33x y 100时方能收回投资并开始赢利(8分),即x 32x 100 0(8分),显然x 3不是不等式的

解,而x 4是不等式的解(11分),因此投产后，这个企业在第4年就能收回投资并开始赢利.(12分)

18．(1) 证明：过A作两圆的内公切线,交BC于D,则由切线的性质知DB=DA=DC，则三角形ABC为直角三角形.即AB⊥AC（3分）

（2）猜想：∠BAC+ ∠BAD=1800（4分）证明：过点A作两圆的内公切线,交BC于E，由切线的性质得， ∠BAC=∠BAE+∠EAC=∠ABC+∠ADC（7分），因此 ∠BAC+∠BAD=∠ABC+∠ADC+∠BAD=1800（8分） （3）猜想：∠BAC+ ∠BDC=1800（9分），连结AD，由于BC是它们的一条外公切线，由切线的性质得， 则∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠DBC+∠DCB（12分），所以∠BAC+∠BDC=∠DBC+∠DCB+∠BDC =1800（13分）.

19．解：（1） APC=

11

AOC=（1800 600）=600，它不会随着点P的变化而变化.（3分） 22

（2）解法1：设AP与CD交于M，PC与AB交于N，连结BC，易证ΔAMO≌ΔCNB，∴AM=CN，MO=NB，(5分)又∠AOD=∠APN，∠MAO=∠NAP=600，∴ΔAMO∽ΔANP，∴

AMAO

，即ANAP

AM AP AO AN①(7分)同理CN CP CO CM，亦即AM CP AO CM②(9分)，①+②得，

AM (PA PC) AO (AN CM) 1 (AO ON CO OM 1 ON 1 NB 3，

∴ PA PC

33

(11分)，而 AM 1(12分)，因此3

PA+PC 故AM2

PA+PC的值会随着点P的变化而变化，其变化范围为3

PA+PC 分)

解法2：由于三角形AOC为等腰三角形，且 AOC=120，AO=OC=1，因此

（5分），在ΔAPC中，由余弦定理得：AC AP PC 2APPCcos60，即

2

2

2

AP2 PC2 APPC 3，因此(AP PC)2 3 3APPC（8分），要确定AP+PC有无变化或其变化

范围，只需研究APPC的值有无变化或其变化范围，而S APC

1

APPCsin600，故只需ΔAPC的面2

积有无变化或其变化范围.由于底边AC为定值，点P在DB上运动，则点P到AC的距离是变化的，因此ΔAPC的面积是变化的，从而APPC的值也是变化的，且随点P到AC的距离的增大而增大（10分），

3

，此时点P为DB的中点，三角形APC为正三角形，PA+PC

的值为2

（11分）.点P到AC的距离的最小值为1，此时点P与点D或点B重合，PA+PC的值为3（12分），因此，

由于点P到AC的距离的最大值为

PA+PC值的变化范围为3

PA+PC 13分）

注: 1、本题能得出结果但不能证明者扣分.

2、本题还可以用O、M、P、N四点共圆、高中解析几何方法等方法证明

20．解：设函数y x2 ax b与x轴的两个交点坐标分别为A(x1,0)，B(x2,0)且x1 x2（1分），函数y x2 bx a与x轴的两个交点坐标分别为C(x3,0)，D(x4,0),且x3 x4（2分），则，同理x3 x4 b 0,x3x4 a 0,则x1 x2 a 0,x1x2 b 0,则x1 0，x2 0（4分）

，则A、B、C、D在x轴上的左右顺序为A，B，C，D或A，C，B，D或A，C，x3 0，x4 0（6分）D，B（7分）

若按A，C，D，B的顺序排列，则AC=CD=DB，则有x3 x1 x4 x2，即x1 x2 x3 x4，即 a b，与假设(a 0 b)矛盾，此不可能.（9分）

若按A、B、C、D的顺序排列，则x2 x1 x4 x3 x3 x2，由于x1,2

a a2 4b

，

2

x3,4

b b2 4a

，则a2 4b b2 4a∴(a b)(a b 4) 0，而a b，

2

b b2 4a a a2 4b b b2 4a

∴ a b 4 0，又2x3 x2 x4，则2 ，

222

化简得：a b b2 4a a2 4b，即3b2 4a a2 4b 4，此不可能（11分）

若按A、C、B、D的顺序排列，则x3 x1 x2 x3 x4 x2，则有x2 x1 x4 x3，且2x3 x1 x2，因此a2 4b b2 4a,∴(a b)(a b 4) 0，而a b，∴a b 4 0，又2x3 x2 x1，则

b b2 4a2 a，解之得a 0或a 4（13分）,而a 0，∴a 0,b 4,经经验,

2

a 0,b 4满足题设要求.故a 0,b 4为所求（14分）.