2.4.1 抛物线及其标准方程

执教者：赖忠艳 2019.11.28

1

意义上来研究抛物线．

(二)抛物线的定义

1．回顾

平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当

0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？

2．简单实验

如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条

直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的

点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图

板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷

紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲

线叫做抛物线．反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结．

3．定义

这样，可以把抛物线的定义概括成：

平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F

不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．

(三)抛物线的标准方程

设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)．下面，我们来求抛物

线的方程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？

让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小结建立直角坐标系的几

种方案：

方案1：(由第一组同学完成，请一学生板练．)

以l为y轴，过点F与直线l垂直的直线为x轴建立直角坐标系(图2-

30)．设定点F(p，0)，动点M的坐标为(x，y)，过M作MD⊥y轴于D，抛物

2

线的集合为：p={M||MF|=|MD|}．

化简后得：y2=2px-p2(p＞0)．

方案2：(由第二组同学完成，请一学生板练)

以定点F为原点，平行l的直线为y轴建立直角坐标系(如图)．设动点M的

坐标为(x，y)，且设直线l的方程为x=-p，定点F(0，0)，过M作MD⊥l于

D，抛物线的集合为：

p={M||MF|=|MD|}．

化简得：y2=2px+p2(p＞0)．

方案3：(由第三、四组同学完成，请一学生板练．)

取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂

直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图．

3

抛物线上的点M(x，y)到l的距离为d，抛物线是集合p={M||MF|=d}．

化简后得：y2=2px(p＞0)．

比较所得的各个方程，应该选择哪些方程作为抛物线的标准方程呢？

引导学生分析出：方案3中得出的方程作为抛物线的标准方程．这是因为这

个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系

数是焦点到准线距离的2倍．

由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形

(列表如下)：

4

将上表画在小黑板上，讲解时出示小黑板，并讲清为什么会出现四种不同的

情形，四种情形中P＞0；并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记

忆．即：当对称轴为x轴时，方程等号右端为±2px，相应地左端为y2；当对

称轴为y轴时，方程等号的右端为±2py，相应地左端为x2．同时注意：当

焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号．

(四)四种标准方程的应用

例题：(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；

(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，-2)，求它的标准方程．

方程是x2=-8y．

5

练习：根据下列所给条件，写出抛物线的标准方程：

(1)焦点是F(3，0)；

(3)焦点到准线的距离是2．

由三名学生板练，教师予以纠正．

这时，教师小结一下：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中

都只含一个系数p，因此只要给出确定p的一个条件，就可以求出抛物线的

标准方程．当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一

确定了；若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会

有多解．

(五)课时小结

本节课主要介绍了抛物线的定义，推导出抛物线的四种标准方程形式，并加

以运用．

（六）布置作业

到准线的距离是多少？点M的横坐标是多少？

2．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：

(1)x2=2y； (2)4x2+3y=0；

(3)2y2+5x=0；(4)y2-6x=0．

3．根据下列条件，求抛物线的方程，并描点画出图形：

(1)顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6；

(2)顶点在原点，对称轴是y轴，并经过点p(-6，-3)．

4．求焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程．

板书设

计

2.4.1 抛物线及其标准方程

1.抛物线的定义

2.抛物线的标准方程例

6

1.让学生自己探索如何建立坐标系，能使求得的方程最为简洁，提高学生知识的迁移教学反

能力。

思

2.引导学生分析，坐标系还有哪些建立方式，求得的方程一样的简洁，并求出方程。

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