综合测评(一) 集合与常用逻辑用语、函数、导数 (时间：120分钟；满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．函数y＝log2x－2的定义域是( )

A．(3，＋∞) B．[3，＋∞) C．(4，＋∞) D．[4，＋∞) 2．(2010年高考湖北卷)设集合A＝{(x，y)|＋＝1}，

416

B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B的子集的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

2

3．已知全集I＝R，若函数f(x)＝x－3x＋2，集合M＝{x|f(x)≤0}，N＝{x|f′(x)<0}，则M∩ IN＝( )

33

A．[，2] B．[，2)

2233

C．，2] D．(，2)

224．(2010年东北三校联合模拟)设f(x)是R上的奇函数，

x

当x>0时，f(x)＝2＋x，则当x<0时，f(x)＝( )

1x1x

A．－(－－x B．－()＋x

22xx

C．－2－x D．－2＋x 5．下列命题① x∈R，x2≥x；② x∈R，x2≥x；③4≥3；2

④“x≠1”的充要条件是“x≠1或x≠－1”．

其中正确命题的个数是( )

A．0 B．1 C．2 D．3

2

6．已知函数f(x)＝ax＋bx(a，b∈R，a≠0)，若f′(－

1

1)＝－4，

f(x)dx＝2，函数f(x)有( )

0

x2y2

1

A．最大值3 B．最大值－

3

1

C．最小值3 D．最小值－

3

7．(2010年河北唐山质检

)

已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)，若f(x)的图

x

象如图所示，则函数g(x)＝a＋b的图象是(

)

8．在用二分法求方程x－2x－1＝0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为( )

A．(1.4,2) B．(1.1,4)

33

C．(1，) D．(，2)

22

3

9．曲线y＝x在点(1,1)处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形面积为( )

7

A．2 B.

3

8

D．3 3

1

10．点M(a，b)在函数y＝的图象上，点N与点M关于

3

x

y轴对称且在直线x－y＋3＝0上，则函数f(x)＝abx2＋(a＋b)x－1在区间[－2,2)上( )

A．既没有最大值也没有最小值 B．最小值为－3，无最大值 C．最小值为－3，最大值为9

13

D．最小值为－，无最大值

4

1x1

11．(2010年高考上海卷)若x0是方程()＝x的解，则

23

x0属于区间( )

212A．，1) B．(，)

323111C．，) D．(0，)

32312．若函数f(x)在定义域R内可导，f(1＋x)＝f(1－x)，

3

且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)>0.设a＝f(0)，b＝f()，

2

c＝f(3)，则( )

A．a<b<c B．c<a<b C．c<b<a D．b<a<c 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)

2

13．若全集U＝R，A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为________．

14．(2010年河北邢台调研)若lga＋lgb＝0(a≠1)，则

xx

函数f(x)＝a与g(x)＝－b的图象关于________对称．

15．设

2 x ，|x|≥1

f(x)＝

x，|x|<1

，g(x)是二次函数，若

f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则g(x)的值域是________．

11

16．给出定义：若m－<x≤m＋(其中m为整数)，则m

22

叫做离实数x最近的整数，记作{x}＝m.在此基础上给出下列关于函数f(x)＝|x－{x}|的四个命题：

1

①函数y＝f(x)的定义域为R，值域为[0，]；

2②函数y＝f(x)的图象关于直线x＝(k∈Z)对称；

2

③函数y＝f(x)是周期函数，最小正周期为1；

11

④函数y＝f(x)在[，]上是增函数．

22

其中正确的命题的序号是________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

2

17．(本小题满分10分)设集合A＝{x|x＜4}，B＝{x|14＜}． x＋3

(1)求集合A∩B；

2

(2)若不等式2x＋ax＋b＜0的解集为B，求a，b的值．

32

18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝kx－3(k＋1)x2

－2k＋4，若f(x)的单调减区间为(0,4)．

(1)求k的值；

2

(2)对任意的t∈[－1,1]，关于x的方程2x＋5x＋a＝f(t)总有实根，求实数a的取值范围．

k

19．(本小题满分12分

)

已知函数f(x)＝log3(ax＋b)的部分图象如图所示．(1)求f(x)的解析式与定义域；

(2)函数f(x)能否由y＝log3x的图象平移变换得到；(3)求f(x)在[4,6]上的最大值、最小值．

3

20.(本小题满分12分)已知以函数f(x)＝mx－x的图象

π

上一点N(1，n)为切点的切线倾斜角为4

(1)求m、n的值；

(2)是否存在最小的正整数k，使得不等式f(x)≤k－1995，对于x∈[－1,3]恒成立？若存在，求出最小的正整数k，否则请说明理由．

21．(本小题满分12分

)

某物流公司购买了一块长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地块AMPN，规划建设占地如图中矩形ABCD的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，B、D分别在边AM、AN上，假设AB长度为x米．

(1)要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米，AB长度应在什么范围？

(2)若规划建设的仓库是高度与AB长度相同的长方体建筑，问AB长度为多少时仓库的库容最大？(墙体及楼板所占空间忽略不计)

22．(本小题满分12分)(2010年高考陕西卷)已知函数f(x)x，g(x)＝alnx，a∈R.

(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；

(2)设函数h(x)＝f(x)－g(x)，当h(x)存在最小值时，求其最小值φ(a)的解析式；

(3)对(2)中的φ(a)，证明：当a∈(0，＋∞)时，φ(a)≤1.

综合测评(一)

1．【解析】选D.y＝

log2x－2≥0， x>0，

log2x－2的定义域满足

解这个不等式得x≥4.

2．【解析】

选D.集合A中的元素是焦点在y轴上的椭圆上的所有

x

点，集合B中的元素是指数函数y＝3图象上的所有点，作

2

图可知A∩B中有两个元素，∴A∩B的子集的个数是2＝4个，故选D.

3．【解析】选A.由f(x)≤0解得1≤x≤2，故M＝[1,2]；

333

f′(x)<0，即2x－3<0，即x<N＝(， IN＝[，

222

3

＋∞)．故M∩ IN＝[，2]．

2

4．【解析】选B.当x<0时，则－x>0，

－x

∴f(－x)＝2－x.又f(x)为奇函数，

1x

∴f(x)＝－f(－x)＝－()＋x.故选B.

212

5．【解析】选C.①当x＝时，x<x，故该命题错误；

2

2

②解x≥x得x≤0或x≥1，故该命题正确； ③为真命题；

2

④“x≠1”的充要条件是“x≠1且x≠－1”． 6．【解析】选D.因为f′(x)＝2ax＋b，所以f′(－1)

11211

＝－2a＋b＝－4，又因为

f(x)dx＝ (ax＋bx)dx＝3a＋2b

＝2，解得a＝3，b＝2，这时f(x)＝3x＋2x，它有最小值－

2

1. 3

7．【解析】选A.由f(x)图象得，0<a<1，b<－1，

∴g(x)为减函数，且g(0)＝1＋b<0.∴A项符合题意．

3

8．【解析】选D.令f(x)＝x－2x－1，

35

则f(1)＝－2<0，f(2)＝3>0，f()＝－<0.

283

故下一步可断定该根所在区间为(，2)．

22

9．【解析】选C.∵y′＝3x，

∴曲线在(1,1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，

2

令y＝0，得切线与x轴的交点坐标为，0)．

3

切线与直线x＝2交于点(2,4)．

3

∴曲线y＝x在点(1,1)处的切线与x轴、直线x＝2所

128

围成的三角形面积S＝×(2－)×4＝.故应选C.

233

1

10．【解析】选D.由已知b＝，即ab＝1，

a

又N点(－a，b)在x－y＋3＝0上， ∴－a－b＋3＝0，即a＋b＝3.

3213

∴f(x)＝abx＋(a＋b)x－1＝x＋3x－1＝(x＋)－.

24

13

又x∈[－2,2)，由图象知：f(x)min＝－但无最大值．

411x

11．【解析】选C.令g(x)＝()，f(x)＝x3，

211121113

∴g(0)＝1>f(0)＝0，g()＝)<f(＝(.

2222

11131113

g)＝()>f(＝(， 3233

2

2

2121232213

，∴结合图象得g()＝()<f(＝(). 323233

11

∴由图象关系可得<x0<.

32

12．【解析】选D.由f(1＋x)＝f(1－x)可得函数f(x)

331

的对称轴为x＝1，故b＝f()＝f(2－＝f(，c＝f(3)＝

222

f(1＋2)＝f(1－2)＝f(－1)．

又由x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)>0，可知f′(x)<0，

1

即f(x)在(－∞，1)上是减函数，于是f(－1)>f(0)>f)，

2

即c>a>b.故选D. 13．【解析】∵A＝{1,2,3,4,5， ，10}， B＝{－3,2}，∴A∩B＝{2}． 即阴影部分表示的集合为{2}． 【答案】{2}

1

14．【解析】由lga＋lgb＝0 ab＝1 b＝，所以g(x)

a

＝－a，故f(x)与g(x)关于原点对称． 【答案】原点 15．【解析】由f(x)≥0，可得x≥0或x≤－1，且x≤－1时f(x)≥1，x≥0时，f(x)≥0，又g(x)为二次函数，其值域为(－∞，a]或[b，＋∞), 而f(g(x))的值域是[0，＋∞)，知g(x)≥0.

【答案】[0，＋∞)

11

16．【解析】①由定义知：－<x－{x}≤，

22

1

∴0≤|x－{x}|≤

2

－x

1

∴f(x)的值域为[0，]，

2

∴①对，②对，③对，④错． 【答案】①②③

2

17．【解】(1)A＝{x|x＜4}＝{x|－2＜x＜2}，

4x－1

B＝{x|1＜}＝{x|＜0}

x＋3x＋3

＝{x|－3＜x＜1}，

A∩B＝{x|－2＜x＜1}．

2

(2)因为2x＋ax＋b＜0的解集为B＝{x|－3＜x＜1}，

2

所以－3和1为2x＋ax＋b＝0的两根．

－23＋1故 b

2

a

，所以a＝4，b＝－6.

18．【解】(1)f′(x)＝3kx－6(k＋1)x， 又∵f′(4)＝0，∴k＝1.

32

(2)由(1)得f(x)＝x－6x＋2，

2

∴f′(t)＝3t－12t.

∵当－1<t<0时，f′(t)>0；当0<t<1时，f′(t)<0，且f(－1)＝－5，f(1)＝－3，∴f(t)≥－5.

8a－252

∵2x＋5x＋a≥，

8

8a－2515∴≤－5，解得a≤－.

88

19．【解】(1)由图象中A、B

a＝2

解得

b＝－1

2a＋b＝3

两点坐标得

5a＋b＝9

2

，

1

.故f(x)＝log3(2x－1)，定义域为(，＋∞)．

2

1

(2)可以．由f(x)＝log3(2x－1)＝log3[2(x－)]

2

1

＝log3(x)＋log32，

2

1

∴f(x)的图象是由y＝log3x的图象向右平移个单位，

2

再向上平移log32个单位得到的．

(3)最大值为f(6)＝log311，最小值为f(4)＝log37.

20．【解】(1)f′(x)＝3mx2

－1，

f′(1)＝tanπ

4

＝1，

∴3m－1＝1，∴m2

3.

从而由f(1)23－1＝n，得n＝－1

3

，

∴m23，n＝－13.

(2)存在．

f′(x)＝2x2

－1＝2(x＋222)(x－2，

令f′(x)＝0得x＝±2

2

在[－1,3]中，当x∈[－1，－2

2

]时，

f′(x)＞0，f(x)为增函数，

当x∈[－22

22

时，

f′(x)＜0，f(x)为减函数，

此时f(x)在x2

2

当x∈[2

2

3]时，

此时f′(x)＞0，f(x)为增函数，

2

比较f(－，f(3)知f(x)max＝f(3)＝15.

2

∴由f(x)≤k－1995，知15≤k－1995， ∴k≥2010，即存在最小的正整数k＝2010， 使不等式在x∈[－1,3]上恒成立． 21．【解】(1)依题意三角形NDC与三角形NAM相似，

所以DCNDAM＝NA，

即x20－AD

2

3020，AD＝203

x， 矩形ABCD的面积为S＝20x－22

3

x，

定义域为{x|0<x<30}，

要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米，

即20x－22

3x≥144，

化简得x2

－30x＋216≤0，解得12≤x≤18， 所以AB长度应在区间[12,18]内．

(2)仓库体积为V＝20x2

－233

x(0＜x＜30)

V′＝40x－2x2＝0得x＝0或x＝20，

当0＜x＜20时V′＞0，当20＜x＜30时V′＜0，所以x＝20时V取得最大值80003

3

米，

即AB长度为20米时仓库的库容最大．

22．【解】(1)f′(x)＝1x

g′(x)a

x(x>0)，

x e由已知得

＝alnx， 1解得 a

， a＝2

，

2xx

x＝e2，

∴两条曲线交点的坐标为(e2

，e)．切线的斜率为k＝