例1 在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等 的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无 盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最 大？最大容积是多少？ 60 x 箱高 h 解；设箱底边长为x cm, 2 2x) x x (60 2 h 箱子容积为V=x V ´=60x-3x² /260

2

x

(0 x 60)

V / 0在x (0,60)内有唯一 极值x 40,当x过小(接近于0)或过大(接近于60) 时，V→0,即箱子容积很小。 答；当x=40时,容积最大为16000

令V ´=0,得x=40, x=0 (舍去)

求最大(最小)值应用题的一般方法1、审题引量2、建立函数关系式 3、注明定义域 4、纯数学问题求最值 5、作答

注：在实际问题中，如果函数 f ( x )在某 区间内只有一个x0 使f ´(x0)=0,而且从实际问题 本身又可以知道函数在 这点有极大(小)值，那 么不与端点比较， f ( x0 )就是所求的最大值或 最小值.(所说区间的也适用于开区间或无穷区间)

例2:要生产一批带盖的圆柱形铁桶，要求每个 铁桶的容积为定值V,怎样设计桶的底面半径才 能使材料最省？此时高与底面半径比为多少？ 法1:解：设桶底面半径为R,

V 又V π R h 则桶高为h πR 2 均 V2

桶的用料为S(R) 2πR 2 2πR h

值 S(R) 2πR 2 2πR 2 (R 0) πR 不 V V 2V 2 2 等 2π R R (R 0) 2π R R R 2 式 2 V 3 2πR 3 33 2πV2 此 时 ： h 2 RV当半径为R 3

h R

V V π 2 4π3 2

h:R 3

时使用材料最省 2π 4V 2π

π V

2 :1

答：

例2:要生产一批带盖的圆柱形铁桶，要求每个 铁桶的容积为定值V,怎样设计桶的底面半径才 能使材料最省？此时高与底面半径比为多少？ 法2:解：设桶底面半径为R,

V 又V π R h 则桶高为h πR 2 利 V2

桶的用料为S(R) 2πR 2 2πR h

用 S(R) 2πR 2 2πR 2 (R 0) πR R 导 2V 2π R2 (R 0) 数 R 2 求 2V V / / 最 S 4π R 2 3 令S 0得：R R 值 V 2π/ R 0上，S 0有唯一的极值 R 3 点

h

R 3

V

2π

时S有最小值

法1;间接引量

Rαrh

法1:设圆锥容器的底 的半径r, 圆锥高h 1 2 2 2 2 V π r h r R h 3 1 2 2

V π (R h )h 13 2 1 3

R

2π r 2 6 π αR 2πr α R 3

V在 (0, R)上 有 唯 一 极 值 点 h R 3 3 3 R是 V有 最 大 值 h R时 V有 唯 一 极 值 h 3 3 3 2 6 2 此时r R R R 9 3

πR h πh (0 h R) 3 / 3 1 2 3 2 V π R π h 0得 ： h R 3 3 3

法2:设扇形圆心角α, 容器的底的半径r, 圆锥高h

Rα

3 3 2 4π 2π 导 2 6 Rα 2 2 π 数 4π α 得 α 2 3 24π 求 2 6 2 3 α π 时 V有 唯 一 极 值 ， R 3 (8π 3α ) α / 最V 3 0 2 6 2 2 2 值 α π时V最大 24π 4π α 2 6 在 (0,2

π )上 V有 一 极 值 点 α 唯 3

R

2π α R 2 R 4π α 2 2 2 2 2 h R r R ( ) 2π 2π 1 2 r V πr h 2 3 α R2 R 1 h 2 2 (0 α 2π) π 4π α2

αR 2πr r

1 V π r2 h 3 αR

3

1 2 R3 2 α 2 2 (0,2π ) V πr h 4π α 2 24π 3法3:利用均值不等式 完成3

R 2 2 2 2 V α α(4π α ) 2 24πR 2 24π33

1 2 2 2 2 α α(8π 2α ) 22

凑

2 6 (当 且 仅 当 α 8π 2α即 α π 3 3 R 1 2 1 2 2 2 时 成立) V α α(4π α ) 22 2 2

R 1 8π 3 ( ) 2 24π 2 324π 2

2

例3:(利润问题)已知某商品生产成本C与产量q的函 数关系式为C=100+4q,价格p与产量q的函数关系式为 1 p 25 q. 求产量q为何值时,利润L最大。 8

q 84时，L最大.

例 4; (行 程 问 题 )一 船 在 航 行 中 燃 料 费 它 轮 和 的 速 度 的 立 方 成 正 比已 知 在 速 度 为 每 小 时 ， 10km时 燃 料 费 是 每 时 6元 ， 而 其 他 与 速 无 小 度 关 的 费 用 是 每 小 时 96 , 问 此 轮 以 何 种 速 行 元 度 驶 时 能 使 行 驶 每 千 米费 用 总 和 最 小 ？ 的

1 1 2 例3分析：收入R qp q(25 q) 25q q 8 8 1 2 利 润L R C (25q q ) (100 4q) 8 1 2 q 21q 100(0 q 200) 8

对称轴q 84 (0,200) q 84时，L最大. : 答

例 4; (行 程 问 题 )一 船 在 航 行 中 燃 料 费 它 轮 和 的 速 度 的 立 方 成 正 比已 知 在 速 度 为 每 小 时 ， 10km时 燃 料 费 是 每 时 6元 ， 而 其 他 与 速 无 小 度 关 的 费 用 是 每 小 时 96 , 问 此 轮 以 何 种 速 行 元 度 驶 时 能 使 行 驶 每 千 米费 用 总 和 最 小 ？ 的设：航速为x(x 0), 燃料费为Q,总费用y 元 则Q kx3 3

Q x 3 500 96 3 3 1 2 总 费 用 ： y ( x 96) x (x 0) 500 x 500 x 3 96 /由 6 k 10x3

3 k 500

3

y

求得唯一的极值点x20 x 20时，y有唯一极值 它是最小值 ，

250

x

2

0得 ： x 20

答：

例 5: 在 长 为 100k 铁 路 线 AB旁 的 C 有 一 个 m的 处 工 厂 ， 工 厂 与 铁 路 的 离 CA为 20km, 铁 路 上 距 由 的 B处 向 工 厂 提 供 原 料 公 路 与 铁 路 每 吨 千 米 ， 的 货 物 运 价 为: 3, 节 约 运 费 ， 在 铁 路 D处 5 为 的 修 一 货 物 转 运 站 ， 设 A 离 为 xkm, CD直 线 D距 沿 修一条公路 (1)将 每 吨 货 物 运 费 )表 示 成 x的 函 y(元 数 (2)x为 何 值 时 运 费 省 ？ 最 100

20

B A DC

(1)解；设公路与铁 路每吨行千米的货物运 价分别为

AD x, 100 x.CD x2 202 DB每吨货物运费y (100 x) 3k x 400 5k 2

5k,3k(元)

(0 x 100) 2x 5x 3 x 2 400 k 0 (2)y/ 3k 5k 2 x 2 400 2 x 400

得 x 15 x (0,100)时y有 唯一极值点x 15 20

100 B A D

x 15时y有唯一极值， 它是最小值答：

C