2008级本（专）科学生试讲

教 案

课 题 含绝对值的不等式的解法 院 部 数学与信息科学学院 专 业 数学与应用数学 指导教师 班 级姓 名 学 号

年 月 日

课 题 §1．4含绝对值的不等式解法

教学目标（宋体四号字，加粗）（全文要求：行距：最小值20磅。页边距：上2.2cm、

左2.5cm、右2.3cm、下1.8cm、页眉1.2cm、页脚1.5cm。有图或者公式带分式等要1.5倍行距）

（一）知识目标：（宋体小四号字，不加粗） 1、理解并会求x a 或x a a 0 的解集； 2、掌握ax b c与ax b c（二）能力目标：

1、通过不等式的求解，加强学生的运算能力； 2、培养学生数形结合、整体代换、等价转化等的思想. （三）情感目标：

1、感悟形与数不同的数学形态间的和谐同一美； 2、培养学生学习数学的兴趣，增加学习的信心.

a 0,c 0 的解法.

教学重点

x a 或x a a 0 与ax b c与ax b c a 0,c 0 型不

等式的解法.

教学难点

含绝对值不等式变换的等价性问题的技巧.

教学方法

探究研讨法，讲练结合法，谈话法等.

教学准备(教具)

直尺，彩色粉笔，小黑板.

课 型

新授课.

教学过程

（一）复习回顾

在初中的时候，我们已经学习了绝对值的意义.现在，我们来回忆一下绝对值是怎么定义的呢？

（通过抽问回答补充的方式）

当初我们是这样定义绝对值的，一个数a的绝对值表示数轴上一点a到原点的距离，我们用数轴表示为

a 0

a 0

结合数轴我们即可知道，

a,a 0,a a,a 0.

（二）创设情景

大家先看这样一个数学问题：

已知M x,y 为一次函数y 2x 3上一点，若该点到x轴的距离不大于5，求点M的横坐标x的取值范围.

（师生讨论）

这个问题我们可以用数形结合的方法来解决.我们先作函数y 2x 3的图像，由图像易知其上一点M到x轴的距离为点M纵坐标y的绝对值，依题意得将y 2x 3代入得取值范围.

那我们又怎么来解决这类含绝对值的不等式呢？这就是本节我们要讨论的问题，大家先翻开书看书的第14页到第15页. （三）讲授新课 1、不等式

y 15，

2x 3 5，只要解出此不等式，即可求出点M的横坐标x的

x a 或x a a 0 的解法

x 5与x 5.在初中我们学习不等式的时候，

我们先来看一个特殊的例子，

很多性质是从方程转化而来的，因而我们在解这类不等式的时候先来看含绝对值的方

程

x 5.由绝对值的定义可知，它表示到原点距离为5的点，结合数轴，我们可以

知道方程的解是x 5或

x 5.

我们再来看相应的不等式

x 5与x 5.

x 5表示数轴上到原

由绝对值的几何意义，结合数轴表示我们很容易知道，点距离小于5的点的集合，在数轴上表示如下

我们用前面学习的集合来表示它的解，则应表示为：同样，

x 5 x 5 .

x 5表示到原点距离大于5的集合，在数轴上的表示为

用集合表示为

xx 5或x 5 .

x a a 0 表示到

a x a a 0 ，数轴表示为

根据上面的思路，结合数轴，我们可以得到一般的情况，原点的距离小于a的点，它的解集为 x

不等式

x a a 0 表示到原点的距离大于a的点，不等式的解集为x a a 0 ，数轴表示如下

xx a或

注：在这里，如果不等式的不等号是“小于”，则解集里用“且”连接，即我们在本章第3节里学习的“交”； 如果不等式的不等号是“大于”时，解集里应用“或”连接，即我们学习的“并”.结合数轴，大家可以这样记忆：“大于分两边，小于居中间”；其次就是我们把结果要写成集合的形式.

大家思考一下，如果把上面的不等号分别变为，不等式的解集又“ ”或“ ”该是什么呢？其实只需把上面不等式的解集中的不等号“ ”与“ ”分别改为就行了. “ ”或“ ”

练习1：现在大家来做几个练习，看书中第17页的练习的第1题的（1）、（2）小题，大家都动笔做一下.

答案：(1) 5 x 5 ;(2) x 10或x 10 .

数学是一门高深的学问，很多问题并没想象中的那么简单，大家看一下刚刚的

x，

我们把x的系数变为2，或者是3，或者是任意的一个常数a，这种类型的不等式又该怎么解呢？或者再在ax后加一个常数b，这又该怎么解呢？这就是我们接下来要学习的内容. 2、不等式

ax b c与ax b c a 0,c 0 的解法

ax c也可以看成ax b c的形式，这里b 0.在小学学习方程和比的时候，

诸如

2x 3

7，是将2x 3看为整体，解出2x 3 14，再解出x，我们称这种方法为“整体代换”方法.同样在这里，我们也可以运用这种思想，将ax b看成一个整体，即令

与

y ax b，则y

ax ，不等式就等价于y c，

y c c 0 这就是我们刚刚学习了的不等式，我们就容易得出它们的解集分别

为 y c y c 与 yy c或y c c 0 ，我们再将y ax b代进去即可求得原不等式的解集.

同前面讨论的一样，我们也可以得出的解集.现在我们来看以下一些例子.

例1解不等式2x 3 5. 分析：这个不等式就是我们刚刚讲的

ax b c与ax b c a 0,c 0

ax b c a 0,c 0 的类型含绝对值

不等式.这里a 2,b 3,c 5，我们把2x 3看成一个整体，则原不等式可变形为

5 2x 3 5，根据不等式的相关知识，很容易就能得到原不等式的解集，现在我

们来把步骤写一下.

解：由原不等式可得：

5 2x 3 5

整理可得：

4 x 1

所以，原不等式的解集为：

x 4 x 1 .

也就是说，当点M的横坐标x的取值在-4到1这个范围内时，纵坐标y的绝对值不大于5，即函数y 2x 3的图像上的点到x轴的距离不大于5.

说明：大家在以后的解题过程中一定要记住，我们常把结果表示成集合的形式，在计算的过程中也要注意计算的准确性.

接下来，我们继续例2. 例2解不等式

2x 5 7.

分析1：这个不等式是我们刚刚讲的

ax b c a 0,c 0 的类型.这里

a 2,b 5,c 7，同样，我们把 2x 5看成一个整体，则原不等式可变形为

2x 5 7或-2x 5 7，即可得到原不等式的解集.

现在大家想想这个题还有其他解法吗？ 分析2：绝对值有这样一个性质：即

a a.对这个题，我们可以用这个性质，

2x 5 2x 5，这样我们将x前面的系数由负数变为正数，这样计算比原来

的计算更为简便，也可以避免计算上的失误，步骤大家自己下去写一下.答案是

x1 x 6 .

大家在解这种类型的题时，可以运用绝对值的性质负数变为正数，这样可以减小计算量.

练习2：现在我们来做几个练习，大家看到书中第16页的练习题的2题，我们请几位同学上来演练一下，其他同学在下面自己做一下.（3分钟）

（对学生的演练进行评价，正确的加以鼓励，错误的指出原因）答案为

a a将x前面的系数由

(1)(2)(3)(4)(5)(6)

x|x 5或x 13 ;

31 x| x ;

x|x 5或x 1 ;

1 x| x 1 ; 2

x| x 2 ;

x|x 2或x 6 .

x a 或x a a 0 与

（四）课时小结

今天主要我们学习了两种类型不等式的解法，即

ax b c与ax b c a 0,c 0 的解法，大家在以后的解题过程中结合数

轴要理解

x a 或x a a 0 的解集.在解ax b c与ax b c(a 0,

c 0)类型的不等式时，如果x的系数是负数，可以可以运用绝对值的性质 a a

将x前面的系数由负数变为正数.大家下去完成这个表格

（五）课后作业

1、16页 1.(1)、(3)； 2.(2)、(4)； 4； 2、上面的表格；

3、思考：本节克我们是运用数形结合的思想来将含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式来求解，大家思考一下我们能不能用分类讨论的方法来转化呢？即能不能将

x分为x 0与x 0两种情况来讨论.

板书设计

（只是教案的排版的基本要求，每个同学有自己的特色）