有理函数分解成部分分式的几种方法

李艳萍

P(x)=A+A(x-a)+…+A(x-a)k+P1(x)(x-a)k（1）12k11令P(x)=R(x)、P（）、Q1(x)是多项式，且x=a不1x1是Q1(x)的根，所以R(x)、R（）在x=a的某个领域内1x

）有任意阶导数，让为P（n(x)、R1(n)(x)(n=1,2,…)。又x=an）是函数R（）的k重根，所以当n＜k时，x=a是R（1x1

A2=（x5+x4+x-1）′

｜

x=1

=10，=16，

（x5+x4+x-1）″A3=

（x5+x4+x-1）苁A4=

(4)

（x5+x4+x-1）A5=

｜

x=1

（x）的根，即R1(n)(x)=0。

（1）式两边同时求在x=a处的n-1阶导数值），则（n＜k

（n-1）

R(x)=(n-1)!An，

｜

x=1

=14，

｜｜

x=1

=6，

(5)

（x5+x4+x-1）A6=

x=1

=1，

由此可得An=

1R(n-1)（x）(n=1,2，…).5

4

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1=2所以x+x+x-+10+16+1成部分分式的例6．分解有理分式x+x+x-和。[3]

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1=A1+A2+A3+解：设x+x+x-14+6+1.在将有理函数分解成部分分式时，一些特殊情况还可能用到其他特殊方法。如将有理函数

x2

分解成部分分式时，可用换元法（设y=x-1）来分解。根据代数学基本定理，有理分式的分母多项式都可以分解成实系数的一次和二次因式的乘积，那么有理函数分解成部分分式之和，就可以根据具体情况，综合运用待定系数法和以上方法来确定部分分式的待定系数。

A4+A5+A6，

则A1=（x5+x4+x-1）x=1=2，

｜

参考文献：

（上册）（第5版）高等教育出版社，[1]同济大学应用数学系.高等数学[M]..北京：2003：211-218.

）吉米多维奇.吉米多维奇数学分析习题集[M].（第3版）周学圣，译.济南：山东科学技术出版社，[2]（白俄罗斯.费定晖，2005：3.（6）：2001，21-24.[3]王雅玲.微分法分解有理函数[J].北京轻工业学院学报，

（责任编辑：罗纯）

SeveralMethodstoResolveRationalFunctionintoPortionFraction

LIYan-ping

(DepartmentofPublicCourses,JianxiongVocationalandTechnicalCollege,TaicangJiangxi215411,China)

Abstract:Thispapermainlyintroducessomesimplemethodsofrealrootssubstitution,complexroots

substitution，limit,andfindingderivativeswhichcanresolverationalfunctionintofractions.Theauthorthinksthemethodscansolvetheproblemofrationalfunctionalintegraleffectively.

Keywords:rationalfunction;portionfraction;undeterminedcoefficient