有理函数分解成部分分式的几种方法

有理函数分解成部分分式的几种方法

比较等式两边的实部与虚部，即可确定Ai与Bi

的值，从而确定待定一次多项式Aix+Bi，(i=1,2,…，n)，此方法可称为“复根代入法”。

例2．化分式解：设

1为部分分式。

法。

例4．分解解：设

8x成部分分式。

8x=A+B+C，1=A+Bx+C，1

用“实根代入法”可得，A=

2

｜

x=-

1

=4,用“实根代入法”，可先求得A=8x

8x｜

x=-1

=4，C=

方程1+x=0的一个虚根为x=i，用“复根代入法”可得，

1）（1+x2

｜

x=1

=2.

怎样来确定B的值呢？将一个恒等式两边同时

｜

x=i

，=

1｜

x=i

=

1=1-2施以某种运算仍然相等，因此把上式两边同乘以x，并取x→∞时的极限，即

x→∞

i=Bi+C,所以B=1，C=-2，即Bx+C=-2x+1,

故

1=1

1+-2x+1

.｜lim

8x2

=lim

x→∞

4x+Bx+2x

，｜

得0=B+2，即B=-2，所以

8x-2+2.=4

4

3

2

用复根代入法分解有理函数时，有时不一定需要把虚根求出再代入比较。

例3．分解解：设

x+9成部分分式。[1]

+4x+1分解成部分分例5．将有理分式3x+x

式的和。[2]

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+4x2+1=3x4+x3+4x2+1=A+解：设3x+x

x+9x+9==A+Bx+C，x+9由实根代入法得A=

｜｜

x=1=2，

Bx+C+Dx+E，+4x+1由实根代入法可得A=3x+x4

3

2

4

3

由复根代入法得Bx+C=x+9

x+x+3=0

2

.

｜

2

x=0

=1。

为了利用x2+x+3=0把x+9变成x的一次式，首

先需要把分母化为单项式。为此，只需将分子分母同乘以适当的一次式，使分母的二次项和一次项分别与x+x+3的二次项、一次项相同。显然，这样的一

2

由复根代入法可得Bx+C=3x+x+4x+1

｜

x+1=0

2

=1。

由极限法，等式两边同乘以x，并取x→∞时的极限，则

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+4x3+xlim3x+xx→∞

次式取x+2即可。

x+9=（x+9）（x+2）=x+11x+18

2

Bx+Cx+Dx2+Ex+Dx2+Ex

=limA+x→∞

2

｜，｜

，=(x+x+3)+(10x+15)

2

得3=1+D，即D=2。

最后任取x=1代入可得E=1。

(x2+x+3)+(10x+15)=x+x+3=0

2

所以Bx+C=x+9

=-(2x+3)

因此

｜｜

x+x+3=0

2

43

+4x2+x=1-1所以3x+x+2x+1.四、求导法

x+9=2-2x+3.

若分母Q(x)含有一次因式的k重因式，即Q(x)=(x-a)kQ1(x)时，可设

P(x)=A1+A2[3]

+…+A2+P1(x)，1等式两边同乘以(x-a)k，得

三、极限法

若分母Q(x)含有一个一次因式或二次因式的二重因式，即含有一个(x-a)2或(x2+px+q)2时，可用极限