有理函数分解成部分分式的几种方法

襄樊职业技术学院学报第9卷双月刊

第3期2010年5月

有理函数分解成部分分式的几种方法

李艳萍

（健雄职业技术学院基础教学部，江苏太仓215411）

摘要：本文介绍了将有理函数分解成部分分式的实根代入法、复根代入法、极限法、求导法等几种简单方法，简捷有效地解决了有理函数的积分问题。

关键词：有理函数；部分分式；待定系数中图分类号：O171

文献标识码：A

文章编号：（2010）1671-914X03-0022-03

在有理函数积分

p(x)dx中，有理函数总能表2

1=2x2+3x-1=A+B+C，解：设2x+3x-示成多项式与真分式之和，所以只需考虑p(x)为有

理真分式的情况。有理真分式的积分，除极少数可用直接积分法或换元积分法求解外，大多都是采用把有理函数分解成部分分式的方法。对于把真分式分解成部分分式之和这一步骤，教材上常用的方法是“待定系数法”，这种方法比较普遍，但它是通过解方程组来确定系数，常常运算过程繁琐，计算量较大。这里介绍有理函数分解成部分分式时确定待定系数的几种简易方法。

用“实根代入法”可得，

2

1A=x2x+3x-｜

=2x+3x-1=1，x=0x=0

2

｜

｜

C=（x-1）2x+3x-1

｜

2

1B=（x+1）2x+3x-2=2x+3x-1x=-12

｜｜

x=-1

=-1，

=2x+3x-1x=12

x=1

=2，

2

1=1-1+2.所以2x+3x-一、实根代入法

当分母Q（x）含有一次因式的单重因式，即Q（x）=(x-a1)(x-a2)…(x-an)时，可设

p(x)=A1+A2+…+An,

12n两边同乘以x-a1，(i=1,2,…,n)，得

（x-a1p(x)=A1(x-a1)+…+Ai+…+An(x-a1),

1n取x=ai代入可得，Ai=(x-a1)p(x)二、复根代入法

当分母Q（x）含有二次因式的单重因式时，即Q（x）=（x2+P1x+q1）（x2+P2x+q2）…（x2+Pnx+qn）时，其中P21-4qi≤0，(i=1,2,…，n)，可设

P(x)=A1x+B1+A2x+B2+…+Anx+Bn，1122nn两边同乘以x2+p1x+q1,(i=1,2,…,n)，得

2

1)(x+p1x+q1)(x2+p1x+q1)P(x)-(A1x+B

11

2)(x+pix+qi)+(A2x+B+…+(Aix+Bi)+…+(Aix+Bi)+…+22

2

｜

x=ai

,(i=1,2,…,n)

即，部分分式中各待定系数Ai都等于把x=Ai

代入原有理函数中（分母中因式x-ai除外），此方法可称为“实根代入法”。

1成部分分式。例1．分解2x+3x-2

(Anx+Bn)(x2+pix+qi)

nn

设x1与x2是方程x2+P1x+q1=0的一对共轭虚根，取x=x（）代入可得，1或x=x2

（x2+pix+q）=Aix1+Bi,(i=1,2,…，n),i

x=x1

｜

收稿日期：2010-03-05

作者简介：李艳萍（1970-），女，江苏太仓人。讲师，硕士，研究方向：高等数学教学。