直击高考,你必须知道!!!

第1讲

选择题

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第1讲

选择题的解题方法与技巧 题型特点概述

选择题是高考数学试卷的三大题型之一. 选择题的分数一 般占全卷的 40%左右，高考数学选择题的基本特点是： (1)绝大部分数学选择题属于低中档题，且一般按由易到 难的顺序排列，主要的数学思想和数学方法能通过它得到充 分的体现和应用，并且因为它还有相对难度(如思维层次、解 题方法的优劣选择，解题速度的快慢等),所以选择题已成为 具有较好区分度的基本题型之一. (2)选择题具有概括性强、知识覆盖面广、小巧灵活及有 一定的综合性和深度等特点，且每一题几乎都有两种或两种

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以上的解法，能有效地检测学生的思维层次及观察、分析、 判断和推理能力. 目前高考数学选择题采用的是一元选择题(即有且只有一 个正确答案),由选择题的结构特点，决定了解选择题除常 规方法外还有一些特殊的方法.解选择题的基本原则是： “小题不能大做”,要充分利用题目中(包括题干和选项)提 供的各种信息，排除干扰，利用矛盾，作出正确的判断. 数学选择题的求解，一般有两条思路：一是从题干出发 考虑，探求结果；二是从题干和选择支联合考虑或从选择支 出发探求是否满足题干条件. 解答数学选择题的主要方法包括直接对照法、概念辨析 法、图象分析法、特例检验法、排除法、逆向思维法等，这 些方法既是数学思维的具体体现，也是解题的有效手段.

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解题方法例析题型一 直接对照法 直接对照型选择题是直接从题设条件出发，利用已知条 件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知 识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出 正确结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”,从 而确定正确的选择支.这类选择题往往是由计算题、应用 题或证明题改编而来，其基本求解策略是由因导果，直接 求解.

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例1 设定义在R上的函数f(x)满足f(x)· f(x+2)=13,若f(1)= 2,则f(99)等于 A.13 B.2 13 C. 2 ( 2 D. 13

C

)

思维启迪 先求f(x)的周期.

13 解析 ∵f(x+2)= , f(x) 13 13 ∴f(x+4)= = =f(x). f(x+2) 13 f(x) ∴函数f(x)为周期函数，且T=4. 13 13 ∴f(99)=f(4×24+3)=f(3)= = 2 . f(1)

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探究提高 直接法是解选择题的最基本方法，运用直接法 时,要注意充分挖掘题设条件的特点，利用有关性质和已有 的结论，迅速得到所需结论.如本题通过分析条件得到f(x) 是周期为4的函数，利用周期性是快速解答此题的关键.

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1 变式训练1 函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)= , f(x) 若f(1)=-5,则f(f(5))的值为 A.5 1 C. 5 ( 1 D.- 5

D

)

解析

B.-5 1 1 由f(x+2)=

,得f(x+4)= =f(x), f(x) f(x+2)

所以f(x)是以4为周期的函数，所以f(5)=f(1)=-5, 1 从而f(f(5))=f(-5)=f(-1)= f(-1+2) 1 1 = =- . 5 f(1)

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x2 y2 例2 设双曲线 2- 2=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有 a b 一个公共点，则双曲线的离心率为 5 5 A. B.5 C. 4 2 ( D ) D. 5

b 思维启迪 求双曲线的一条渐近线的斜率即 的值，尽而 a 求离心率.

解析

设双曲线的渐近线方程为y=kx,这条直线与抛物 y=kx 2 y=x +1

线y=x2+1相切，联立2

,整理得x2-kx+1=

b 0,则Δ=k -4=0,解得k=± 2,即 =2,故双曲线的离 a c 心率e= = a c2 = a2 a2+b2 = a2 b2 1+( ) = 5. a

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探究提高 关于直线与圆锥曲线位臵关系的题目，通常是联 立方程解方程组.本题即是利用渐近线与抛物线相切，求 出渐近线斜率.

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x2 y2 变式训练2 已知双曲线C: 2- 2=1(a>0,b>0),以C的右 a b 焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是 A.a B.b C. ab ( B ) D. a2+b2 x2 y2 b 解析 - =1的其中一条渐近线方程为：y=- x, a2 b2 a 即bx+ay=0,而焦点坐标为(c,0),根据点到直线的距

|b× a2+b2| 离d= 2 2 =b.故选B. a +b

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题型二 概念辨析法 概念辨析是从题设条件出发，通过对数学概念的辨析，进 行少量运算或推理，直接选择出正确结论的方法.这类题 目常涉及一些似是而非、很容易混淆的概念或性质，这需 要考生在平时注意辨析有关概念，准确区分相应概念的内 涵与外延，同时在审题时要多加小心，准确审题以保证正 确选择.一般说来，这类题目运算量小，侧重判断，下笔 容易，但稍不留意则易误入命题者设臵的“陷阱”.

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例3 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),给出下列条 件，①a=kb(k∈R);②x1x2+y1y2=0;③(a+3b)∥(2a-2 2 b);④a· b=|a||b|;⑤x1y2+x2y2≤2x1x2y1y2. 2 1

其中能够使得a∥b的个数是 A.1 B.2 C.3

( D.4

D )

解析 显然①是正确的，这是共线向量的基本定理； ②是错误的，这是两个向量垂直的条件；③是正确 的，因为由(a+3b)∥(2a-b),可得(a+3a)=λ(2a- λ+3 1 1 b),当λ≠ 时，整理得a= b,故a∥b,当λ= 时 2 2 2λ-1 也可得到a∥b;④是正确的，若设两个向量的夹角为 θ,则由a· b=|a||b|cos θ,可知cos θ=1,从而θ=0,所 2 2 以a∥ b;⑤是正确的，由x1 y 2 +x2 y 2 ≤2x1x2y1y2,可得 2 1 (x1y2-x2y1)2≤0,从而x1y2-x2y1=0,于是a∥ b.

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探究提高 平行向量(共线向量)是一个非常重要和有用的概 念，应熟练掌握共线向量的定义以及判断方法，同时要将 共线向量与向量中的其他知识(例如向量的数量积、向量的 模以及夹角等)有机地联系起来，能够从不同的角度来理解

共线向量.

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变式训练3

关于平面向量a,b,c,有下列三个命题：

①若a· b=a· c,则b=c. ②若a=(1,k),b=(-2,6),a∥b,则k=-3. ③非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为 60° . 则假命题为 A.①② B.①③ C.②③ ( B ) D.①②③

解析 ①a· b=a· c a· (b-c)=0,a与b-c可以垂直，而不 一定有b=c,故①为假命题. ②∵a∥b,∴1×6=-2k.∴k=-3.故②为真命题. ③由平行四边形法则知围成一菱形且一角为60° ,a+b为其 对角线上的向量，a与a+b夹角为30° ,故③为假命题.

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题型三 数形结合法 “数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基 石，二者在内容上互相联系、在方法上互相渗透、在一定 条件下可以互相转化，而数形结合法正是在这一学科特点 的基础上发展而来的.在解答选择题的过程中，可以先根 据题意，做出草图，然后参照图形的做法、形状、位臵、 性质，综合图象的特征，得出结论.

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例 4 (2012· 海南)用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最 小值.设 f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则 f(x)的最大 值为 A.4 思维启迪 B.5 C.6 ( D.7 )

C

画出函数f(x)的图象，观察最高点，求出纵

坐标即可.本题运用图象来求值，直观、易懂. 解析 由题意知函数f(x)是三个函数y1=2x,y2=x+2,y3=10-x中 的较小者，作出三个函数在同一 个坐标系之下的图象(如图中实线 部分为f(x)的图象)可知A(4,6)为函 数f(x)图象的最高点.