本文档包含了一些常见的积分不等式的证明方法及其简单应用。

积分不等式的证明方法及其应用

【摘要】本文根据定积分的定义、性质、定理等方面简单介绍了几个证明积分

不等式的基本方法，并给出了相应的例题，从而更好地掌握其积分不等式的证明方法。尔后再给出四个重要积分不等式及其证明方法和应用，最后详细举例说明积分不等式在求极限、估计积分、证明积分不等式等上的应用及两个重要积分不等式的应用。

【关键词】积分不等式 Schwarz不等式 Holder不等式 Gronwall不等式

Young不等式

..

1 引言

在学习中，我们常会遇到这样的问题：有些函数可积，但原函数不能用初等函数的有限形式来表达，或者说这种积分“积不出”，无法应用Newton-Leibniz公式求出（如 e xdx），这时我们只能用其它方法对积分值进行估计，或近似计

01

2

算；另一种情况是，被积函数是没有明确给出，只知道它的结构或某些性质（例如设函数f在 0,1 上连续可微，且f(1) f(0) 1，求 f'2(x)dx），因此我们希

01

望对积分值给出某种估计.为此我们来研究下积分不等式. 我们把含有定积分的不等式称为积分不等式.

2

1

xlnxdx

2

1

xlnxdx，

ba

f(x)coskxdx

2

ba

f(x)sinkxdx

2

1都是积分不等

式.

2积分不等式的证明方法

2.1 定义法

我们根据定积分的定义，把积分区间n等分，得出积分和，再由离散型式子，得出积分和之间的大小关系，再令n ，取极限即可. 例1设函数f(x)在区间 0,1 上可积 .

试证明有不等式 f(x)dx01

.

证 先用Jensen不等式法证明不等式 : 对 x1,x2, ,xn R, 有不等式

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x1 x2 xn

n

x1 x2 xn

n

222

.

n

设T为区间[ 0 , 1 ]的n等分.由上述不等式,有

i 1

i 1

f n n

n

i 1

2 i 1f . n n

令n , 注意到函数f(x)和f2(x)在区间 [ 0 , 1 ]上的可积性以及函数 |x|和x的连续性，就有积分不等式

f(x)dx01

.

例2 设f在区间 a,b 上连续，p(x) 0， p(x)dx 0，且m f(x) M，h(x)

a在 m,M 上有定义，并有二阶导数h''(x) 0，试证明：

b

h(

ba

p(x)f(x)dx

ba

)

p(x)dx

ba

p(x)h(f(x))dx

ba

.

in

p(x)dx

(b a)，pi p(xi)

证 （利用积分和）将 a,b n等分，记xi a

i 1,2,3

，fi f(xi)，

nn

因为h''(x) 0，所以h(x)为凸函数，所以h(

i 1

n

pifi

) pi

i 1

pih(fi)

n

pi

i 1

n

i 1

则有h(

i 1n

pifipi

b ann

)

n

i 1

pih(fi)

n

b an

i 1

b a

i 1

pi

b an

令n 取极限，便得欲证明的积分不等式.

2.2 利用定积分的基本性质

例3 设f(x)在 a,b 上二次连续可微，f(其中M supf''(x).

a x b

a b2

) 0， f(x)dx

a

b

M(b a)

24

3

，

证 将f(x)在x

f(x) f(

'

a b2a b2

处用泰勒公式展开，注意到f(

)

12!

f( )(x

''

a b2

) 0，则

a b2

)(x

a b2

)

2

，f(x)的右端第一项在 a,b 上的

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积分为0，故

ba

f(x)dx

2!

3

1

ba

f( )(x

''

a b2

2

)dx

1

2

ba

f( )(x

''

a b2

)dx

2

16

M(x

a b2

)|a

3b

M(b a)

24

，其中M supf''(x).

a x b

例4设函数f(x)在 0,1 连续且递增，证明：对任意k 0, 1，有

k

f(x)dx k f(x)dx.

1

k0

k

f(x)dx k f(x)dx 0

1

证1 k f(x)dx

1k

f(x)dx

1k

k0

f(x)dx

(k 1) f(x)dx k f(x)dx k(k 1) f( 1) f( 2)

k

k

1

0(其中0 1 k 2 1)

,

移项即得.

1

证2 f(x)dx k f(x)dx

0k

1

k

k

f(x)dx k f(x)dx k f(x)dx

k

k

(1 k) f(x)dx k f(x)dx或但f在闭区间 0,1 上连续且递增，故

1k

1k

1k

k0

k0

f(x)dx

11 k

1k

f(x)dx1

f(x)dx f(k)

1 k

1k

f(x)dx，即

k0

f(x)dx

11 k

1k

f(x)dx

成立，原题获证.

2.3 利用重积分证明积分不等式

把积分不等式中的定积分变换成重积分，再利用重积分的性质证明积分不等式. 例5 已知f(x) 0，在 a,b 上连续， f(y)dy 1，k为任意实数，求证：

ab

ba

f(x)coskxdx

baba

2

ba

f(x)sinkxdx

a

2

1 （*）

ba

b

证 （*）式左端 原式获证.

f(x)coskxdx f(y)coskydy dx

ba

b

f(x)sinkxdx f(y)sinkydy

a

ba

f(x)f(y)cosk(x y) dy

dx f(x)f(y)dy 1

a

b…… 此处隐藏：10835字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……