1.螺旋面及其法线表达式

1.1.一般圆柱螺旋面的形成及其表达式

设在空间有一个固定的坐标系（O x,y,z）,一段空间曲线 的坐标表达式：

上式中u为参变数。

令曲线 一方面绕z轴等速转动，同时又沿着z轴等速移动，这样的运动称为螺旋运动。此该曲线在空间形成的轨迹曲面就是等升距圆柱螺旋面，以下简称螺旋面，利用矢量回转公式可得右旋螺旋面的坐标表达式为：

称为螺旋面的母线，

式中 -----参变数，它表示母线从起始绕z轴转过的角度。

p----螺旋参数，它的意义为母线 绕z轴转过单位角度时，沿轴线方

向移动的距离。

1.2.一般螺旋面的法线表达式

设螺旋面上一点的矢径为，其法矢量为，该点两参数曲线的切线矢量

r r,，由高等数学矢量运算可知： u

n u j y1 u y1 nx1i ny1j nz1k

根据行列式运算可知：

y1

nx1 u

y1 z1

ny1 u

z1

z1

u y1 z1 z1 y1 z1 u u

x1

u z1 x1 x1 z1 x1 u u

x1

nz1 u

x1 y1

u x1 y1 y1 x1 y1 u u

由偏导计算可知：

x1

x0(u)cos y0(u)sin u y1

x0(u)sin y0(u)cos u z1

z0(u) u

由以上运算可得一般螺旋面的法线表达式为：

2.蜗轮蜗杆啮合方程式的建立

已知蜗杆齿面 是螺旋面，且蜗杆及蜗轮都不沿轴线移动，两轮只作转动，为单自由度的空间啮合，独立的运动参数是蜗杆的角速度 1，而蜗轮的角速度

2 i21 1， 2 i21 1，则啮合方程式为（见吴序堂“齿轮啮合原理” P150式

3-74）：

本计算中两轴的交错角 900，啮合方程式可以简化为：

把螺旋方程式（1-2）及其法线方程式（1-3）代入啮合方程式（2-2），经过简单的运算可以得到：

3.与蜗杆啮合的蜗轮齿面方程式

3.1.蜗轮蜗杆空间坐标系的建立

蜗轮蜗杆工作副是典型的三维空间啮合传动。运用共轭啮合方程式，既可以由蜗杆齿面求解蜗轮齿面，又可以由蜗轮齿面设计蜗杆齿面。在图4-1所示的齿

轮空间啮合传动坐标系中，S(o x,y,z)和Sp(op xp,yp,zp)是空间上固定的坐标系。z轴和齿轮1的转动轴线重合，zp轴和齿轮2的转动轴线重合，两条轴线的夹角是 。x轴和xp轴重合，它们的方向就是两轴线最短距离的方向。oop是空间啮合齿轮副的轴间最短距离（即中心距a）。

S1(o1 x1,y1,z1)坐标系同齿轮1固联，S2(o2 x2,y2,z2)坐标系同齿轮2固

联。在初始位置处，分别同S以及Sp重合。齿轮1、齿轮2分别以不变的角速度

1、 2绕各自的中心轴（z轴和zp）转动。规定 1、 2的正向与z轴、zp轴的

正向相同。经过一定的时间之后，S1(o1 x1,y1,z1)和S2(o2 x2,y2,z2)呈现图3-2所示的位置， 1、 2分别是齿轮1、齿轮2绕z轴、zp轴的转角。则有，

i12

1 1z21

2 2z1i21

（3-1）

式中，Z1和Z2分别为齿轮1、齿轮2的齿数（或头数）。

3.2.坐标变换

坐标系S2与S1有如下变换关系：

x2y2z2t2

M21

x1y1z1t1

式中

cos 1cos 2 sin 1sin 2cos siin 1cos 2 cos 1sin 2cos

cos 1sin 2 sin 1cos 2sin siin 1sin 2 cos 1cos 2cos sin 1sin 0

cos 1sin 0

sin 2sin acos 2 l1sin 2sin cos 2sin asin 2 l1cos 2sin cos 0

l1cos l21

M21

将蜗杆螺旋面表达式（1-2）通过上述变换到蜗轮坐标系中，可得蜗轮齿面表达式为：

4.与三种蜗杆螺旋面啮合的蜗轮齿面计算 4.1.与阿基米德螺旋面啮合的蜗轮齿面

4.1.1与阿基米德螺旋面啮合的蜗轮齿面计算

设在起始位置时，直母线在轴向截面yoz中（图4-1），它的方程可写成：

式中 为直线与端截面的夹角，称为阿基米德蜗杆的轴向齿形角。 u确定轴向截形上动点M位置的参变数，u OM

由式（1-2）可得右旋阿基米德螺旋面方程式为：

将式（4-2）带入法线方程式（1-3）及啮合方程式（2-3）计算可得：

将式（4-2）带入蜗轮齿面方程式（3-1）计算可得：

2

2

2

对于蜗轮齿形上任意的一点，都满足x2 y2 RL，RL指蜗轮从齿根圆到齿顶圆的任意半径，将（4-4）带入可得：

（4-3）和（4-5）式中ucos 是指蜗杆螺旋面上任意一点在底面的投影长度，可用R

g代替，则（4-3），（4-5）变为：

给出 1的任意角度，并给出蜗轮一系列从齿根到齿顶的RL值，可利用方程（4-6）和（4-7）求出 和Rg的一系列值，将这些值代入蜗轮齿面方程式，即可得蜗轮齿面上的一条曲线。

给出 1 (0,2 )一系列的值，则可得蜗轮齿面上的一系列曲线族，将这些曲线族进行拟合便可得蜗轮的齿面廓形。

4.1.2.与阿基米德螺旋面啮合的蜗轮齿面端面截形

令式（4-4）中z2 0，可得：

因此有 1

，将其带入（4-6），（4-7）可得：

其中： 蜗杆轴向模数：m

mn2

2.014463596 cos 0.9928201254

传动比：i21 =

z1

= 2 / 33 z2

d1 d233.2 70.24

== 51.72 22

mz2.014463596*2

2.014463596 螺旋参数：p = =

22

安装中心距：a=

蜗轮齿根圆半径：rf2

d1 2hf2

2

70.24 2*(1 0.2)*2.1284

32.56592

2

蜗轮齿顶圆半径：ra2

d1 2ha270.24 2*1*2.1284

37.2484 22

取RL [33,37]，步长为0.1，代入（4-9），（4-10）解得 值和Rg值，并代入蜗轮的齿面方程（4-4），求得数据如下：

4.1.3.蜗轮齿面端面截形画图

在matlab中画蜗轮端面齿廓形状如下图：

图 4-2 与阿基米德螺旋蜗杆啮合的蜗轮端面截形

4.2.与渐开线螺旋曲面啮合的蜗轮齿面

4.2.1与渐开线螺旋曲面啮合的蜗轮齿面计算

设在起始位置时，直母线与圆柱的切点在x轴上的g点，直母线上动点M到

g点的距离为参变数u，则直母线的方程为：

式中rb为蜗杆的基圆。

由式（1-2）可得右旋渐开线螺旋面方程式为：

将式（4-12）带入法线方程式（1-3）及啮合方程式（2-3）计算可得：

将式（4-12）带入蜗轮齿面方程式（3-1）计算可得：

2

2

2

对于蜗轮齿形上任意的一点，都满足x2 y2 RL，RL指蜗轮从齿根圆到齿顶圆的任意半径，将（4-14）带入可得：

（4-13）和（4-15）式中ucos 是指蜗杆螺旋面上任意一点在底面的投影长度，可用Rg代替，则（1），（2）变为：

给出 1的任意角度，并给出蜗轮一系列从齿根到齿顶的RL值可利用方程（4-16）和（4-17）求出 和Rg的一系列值，将这些值代入蜗轮齿面方程式，即可得蜗轮齿面上的一条曲线。

给出 1 (0,2 )一系列的值，这可得蜗轮齿面上的一系列曲线族，将这些曲线族进行拟合便可得蜗轮的齿面廓形。 4.2.2与渐开线螺旋面啮合的蜗轮齿面端面截形

令式（4-14）中z2 0，可得：

其中：

蜗杆轴向模数：m

mn2

2.014463596 cos 0.9928201254

传动比：i21 =

z1

= 2 / 33 z2

d1 d233.2 70.24

== 51.72 22

mz2.014463596*2

2.014463596 螺旋参数：p = =

22

安装中心距：a=

蜗杆端面齿形角：aF tanan0.2586175797

1.137576244 sin 0.1196168826

基圆半径：rb

d1cosaF33.2*0.4197955811 7.009443615 22

蜗轮齿根圆半径：rf2

d1 2hf2

2

70.24 2*(1 0.2)*2.1284

32.56592

2

蜗轮齿顶圆半径：ra2

d1 2ha270.24 2*1*2.1284

37.2484 22

则可取取RL [33,37]，步长为0.1

取RL [33,37]，步长为0.1，解方程组（4-16），（4-17），（4-18）解得 值和Rg值，并代入蜗轮的齿面方程（4-14），求得数据如下：

4.2.3.蜗轮齿面端面截形画图

在matlab中画蜗轮端面齿廓形状如下图：

图 4-4 与渐开线螺旋蜗杆啮合的蜗轮端面截形

4.3.与法向直廓螺旋曲面啮合的蜗轮齿面

4.3.1与法向直廓螺旋曲面啮合的蜗轮齿面计算

设直母线的起始位置如图4-5所示，母线与半径为r0的圆柱面相切，切点在

x轴上的g点，母线的倾斜角为 ，以动点M到g点的距离u为参变数，则直母线的方程为：

式中r0为蜗杆的导圆柱半径。

由式（1-2）可得右旋渐开线螺旋面方程式为：

将式（4-19）带入法线方程式（1-3）及啮合方程式（2-3）计算可得：

将式（4-19）带入蜗轮齿面方程式（3-1）计算可得：

2

2

2

对于蜗轮齿形上任意的一点，都满足x2 y2 RL，RL指蜗轮从齿根圆到齿顶圆的任意半径，将（4-22）带入可得：

（

4-21）和（4-23）式中ucos 是指蜗杆螺旋面上任意一点在底面的投影长度，可用Rg代替，则（4-21），（4-23）变为：

给出 1的任意角度，并给出蜗轮一系列从齿根到齿顶的RL值可利用方程（4-24）和（4-25）求出 和Rg的一系列值，将这些值代入蜗轮齿面方程式，即可得蜗轮齿面上的一条曲线。

给出 1 (0,2 )一系列的值，这可得蜗轮齿面上的一系列曲线族，将这些曲线族进行拟合便可得蜗轮的齿面廓形。

4.3.2与法向直廓螺旋面啮合的蜗轮齿面端面截形

令式（4-22）中z2 0，可得：

其中：