南昌大学2010级高数(下)试题及答案

南昌大学 2010～2011学年第二学期期末考试试卷 一、填空题(每空 3 分，共 15 分)

y 22

1. 设f x y, x y，则f x,y _____.

x

2. 设z e

xy

22

，则dz 1,1 _________________.

3x2 2y2 12

3. 曲线 绕y轴旋转一周得到的

z 0

旋转曲面方程为_______. 4. 交换积分次序 1dx 05. 将函数f x

19 4x

2

01f

x,y dy为________.

展开成x的幂级数

为__________.

二、单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 下列论述正确的是（ ）

（A）函数f x,y 的极值点必是f x,y 的驻点； （B）函数f x,y 的驻点必是f x,y 的极值点； （C）可微函数f x,y 的极值点必是f x,y 的驻点； （D）可微函数f x,y 的驻点必是f x,y 的极值点．

x y

2．设u yf xf ，

x y

其中f 具有二阶连续导数， 2

2

则x

2

u x

2

y

2

u y

2

等于（ ）

（A）x y ；（B）x ；（C）y ；（D）0 ． 3．设非齐次线性方程y P x y Q x 有两个不同的解y1 x ，y2 x ，C 为任意常数，则该方程的通解是（ ） （A）C y1 x y2 x ； （B）y1 x C y1 x y2 x ； （C）C y1 x y2 x ； （D）y1 x C y1 x y2 x ．

4．设有级数 un，则以下命题成立的是（ n 1 （A）若 un收敛，则 un收敛；

n 1

n 1

）

n 1 n 1

n 1 n 1

（B）若 un收敛，则 un收敛； （C）若 un发散，则 un发散； （D）以上三个命题均是错误的． 5．设 1：x y z R，z 0；

2：x y z R，x 0，y 0，z 0，

2

2

2

2

2

2

2

2

则有（ ）

（A） xdV 4 xdV； （B） ydV 4 ydV；

1

2

1

2

（C） xyzdV 4 xyzdV； （D） zdV 4 zdV．

1

2

1

2

三、计算题（一）(共24分，每小题6分) 1、设z ecos 2x y ，求

xy

z x

，

z y

2、判断级数

n 1

2

n

n!

的敛散性．

x 1

x 1y 2z 1y t 1 3、求与两条直线 及都平行

121 z t 2

且过点（3，-2，1）的平面方程．

4、设函数

z z x,y 是由方程xy z ez

所确定的隐函数，求

z x

，

z y

四、计算题（二）(共21分，每小题7分) 1

、计算 L，其中L为摆线的一拱

x t sint，y 1 cost 0 t 2 ．

2、计算I L2

x2 y2

dx x y 2

dy， 其中：L是以点A 1,1 ，B 2,2 ，C 1,3

为顶点的三角形正向边界．

3、利用高斯公式计算曲面积分

xdydz

ydzdx zdxdy，

其中

为z 五、解答题(共14分，每小题7分)

1、求幂级数

x

n

的收敛域及和函数．

n 0

n 2

2、设函数 x 具有连续的二阶导数，

0 0 1，且曲线积分

L 3 x 2 x

ydx x dy 与路径无关，求函数 x ． 六、应用题(本题满分6分)

求椭球面4x2

y2

z2

6上点 1,1,1 处的切平面

与三个坐标面所围成的立体的体积． 七、证明题(本题满分5分)

设级数 un和 vn都收敛，且存在正整数N， n 1

n 1

当n N时有un wn vn，证明级数 wn收敛．

n 1

南昌大学 2010～2011学年第二学期期末考试试卷及答案一、填空题(每空 3 分，共 15 分)

1. 设f y x y, 22

x x y ，

则f x,y x

2

1 y

1 y

.

2. 设z e

x2

y

2

，则dz 1,1

2e dx dy

.

3x2 2y2 12

3. 曲线

z 0绕y轴旋转一周得到的

旋转曲面方程为

3x z

22

2y

2

12

.

4. 交换积分次序 1dx 0

为 0dy 1

1

1f

x,y dy

f

x,y dx. 1

5. 将函数f x

9 4x

n

2

展开成x的

n

幂级数为 1

n 0

49

n 1

x

2n

3 3

x

2 2

.

二、单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 下列论述正确的是（ C ）

（A）函数f x,y 的极值点必是f x,y 的驻点； （B）函数f x,y 的驻点必是f x,y 的极值点； （C）可微函数f x,y 的极值点必是f x,y 的驻点； （D）可微函数f x,y 的驻点必是f x,y 的极值点．

x y

2．设u yf xf ，

x y

其中f 具有二阶连续导数， 则x

2

u x

2

2

y

2

u y

2

2

等于（ D ）

（A）x y ；（B）x ；（C）y ；（D）0 ． 3．设非齐次线性方程y P x y Q x 有两个 不同的解y1 x ，y2 x ，C 为任意常数， 则该方程的通解是（ B ） （A）C y1 x y2 x ； （B）y1 x C y1 x y2 x ； （C）C y1 x y2 x ； （D）y1 x C y1 x y2 x ．

4．设有级数 un，则以下命题成立的是（n 1 （A）若 un收敛，则 un收敛； n 1n 1

（B）若 un收敛，则 un收敛； n 1n 1 （C）若 un发散，则 un发散； n 1

n 1（D）以上三个命题均是错误的． 5．设 2222

1：x y z R，z 0；

2222

2：x y z R，x 0，y 0， A z 0，

）

则有（ D ）

（A） xdV 4 xdV； （B） ydV 4 ydV；

1

2

1

2

（C） xyzdV 4 xyzdV； （D） zdV 4 zdV．

1

2

1

2

三、计算题（一）(共24分，每小题6分) 1、设z ecos 2x y ，求

z x

xyxy

z x

，

xy

z y

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