数学物理方法第13章

数学物理方法第13章知识点总结

第13章 第13.1节

一、基本概念

(1)偏微分方程 含有未知多元函数及其偏导数的方程，如 F(x,y,...u,多元函 数

u x

u x

,

u y

,

u x

2

2

,

u y

2

2

,...)=0其中u(x,y,...) 是未知

,

u y

...为u的偏导数. 有时为了书写方便，通常记

u y

u x

22

ux

u x

,uy

,....uxx

,...

(2)方程的阶 偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为方 程的阶．

(3)方程的次数 偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏微 分方程的次数

(4)线性方程 一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有偏导数的幂次数都

是一次的，就称为线性方程，高于一次 以上的方程称为非线性方程．

(5)准线性方程 一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最 高阶偏导数是线性

的，则称方程为准线性方程．

(6)自由项 在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的 项称为自由项．

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二阶线性非齐次偏微分方程uxy=2y x的通解为 u(x,y)=xy2-1x2y+F(x)+G(y)

2

其中 F(x), G(y)是两个独立的任意函数．因为方程为二阶的，所以是两个任意的函数．

若给函数F(x),G(y)指定为特殊的F(x)=2x4 5, G(y)=2sin y ，则得到的解

u(x,y)=xy2-x2y+2x4 5+2siny 称为方程的特解．

21

n 阶常微分方程的通解含有n个任意常数，而n阶偏微分方 程的通解含有n个任意函数．

第13.2节

一、二阶线性偏微分方程的分类

两个自变量(x, y)的二阶线性偏微分方程所具有的普遍形式为

A(,y)

u x

22

B(x,y)

u x y

2

C(x,y)

u y

2

2

D(x,y)

u x

E(x,y)

u x

F(x,y)u G(x,y)

（13.2.1） 其中 A, B, C, D, E, F , G 为(x,y)的已知函数．

定义A(dy)2 Bdydx+C(dx)2=0 (13.2.3) 为方程13.2.1的特征方程 它所对应的积分曲线族称为特征曲线族 在具体求解方程(13.2.3)时，需要分三种情 况讨论判别式 =B2 4AC 1.双曲型偏微分方程

当判别式 =B2 4AC>0 时，从方程(13.2.3)可以求得两个实函数解

数学物理方法第13章知识点总结

φ(x,y)=C1及ψ(x,y)=C2也就是说，偏微分方程(13.2.1)有两条实的特征线．于是，

令ξ=φ(x, y), η=ψ(x,y)作变换并代入原方程原偏微分方程(13.2.1)变为：

u

2

D( , )u E1( , )u F1( , )u G1( , )

(13.2.4)

此方程称为双曲线偏微分方程的第一种标准形式 或者进一步作变换 α=ξ+η, β=ξ η 偏微分方程(13.2.4)变为：

u

22

u

2

2

D1( , )u E1( , )u F1( , )u G1( , )

此方程称为双曲型偏微分方程的第二种标准形式 Utt=a2u xx+f(x,t) 波动方程即为双曲型偏微分方程 例题13.2.1原方程为

u x

22

y

u y

2

2

0

(Y<0)

在y<0的区域中，其判别式 =B2 4AC=0-4y>0,所以方程为双曲型。 其特征方程为(dy)2+y(dx)2=0 即：

y x

y

y

该微分方程的解为 x+2是两族函数曲线。若令

=常数C1, x-2

或令

y

=常数C2

x 2 y

x 2 y

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x x x u x u x

222

12

( )y y y

116

( )1 y1 y1

2

1

u

1

u

1 u

2

u 2

2

2

u y

u

2

2

y

y

u

2

u

2

2

u y

2

1 u u u1 u u ( 2 ) ( )223

y 2y

带入原方程得

4 u

2

12

y

(

u

u

)

2

(

u

u

)

所以原偏微分方程化简为下列标准形式

u

2

1

2( )

(

u

u

2

)

u x

22

2

补充例题：试将方程y

x

u y

2

2

0

化为标准方程。

解：△=0-y2(-x)2=x2y2>0 (x 0,y 0)

当(x 0,y 0)时，方程为双曲型的，其特征方程为y2(

dydx

xy

dydx

xy

dxdy

) x 0

2

2

积分，得到两组积分曲线

1212y y

22

1212

x C1x C1

2

2

做变换

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1212

y y

2

2

1212

xx

2

2

u

u

2( )

2

2

2( )

2

2

u

2.抛物型偏微分方程

dy

当判别式 =B2 4AC=0 时，方程(13.2.3)一定有重根dx

B2A

所以

特征曲线是一族实函数曲线．其特征方程的解为φ(x,y)=c因此令 ξ=φ(x,y),η=y作变换，则原方程变为

u

22

D2( , )u E2( , )u F2( , )u G2( , )

(13.2.6)

此方程称为抛物型偏微分方程的标准形式 抛物型方程又可记为

u

22

( , ,u,

u u

,) 0

2

例13.2.2 设原偏微分方程为x

u x

2

2

2xy

u x y

2

y

2

u y

2

2

0 （y 0）

其判别式 =B2 4AC=4x2y2-4x2y2=0,所以特征方程为抛物型，其特征 方程为x2(dy)2-2xydxdy+y2(dx)2= …… 此处隐藏：2333字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……