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章末复习总结

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变力做功求解方法有以下几种： 变力做功求解方法有以下几种： 一、代换法 如果力的大小(设为 不变而方向时刻变化 ， 变力对 如果力的大小 设为F)不变而方向时刻变化 设为 不变而方向时刻变化， 物体做的功，可等效于在该过程中恒力F由某位置移到另 物体做的功， 可等效于在该过程中恒力 由某位置移到另 一位置时所做的功，用恒力的功代换变力的功. 一位置时所做的功，用恒力的功代换变力的功.

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【例1】 】

一恒力F通过光滑的小滑轮和细绳将一质量 一恒力 通过光滑的小滑轮和细绳将一质量

的物体从水平面上点A拉到点 为 m的物体从水平面上点 拉到点 ， 已知点 、 B处细绳 的物体从水平面上点 拉到点B,已知点A、 处细绳 与水平方向夹角分别为α、 , 与水平方向夹角分别为 、β,滑轮距物体上表面的高度为 H,求此过程中拉力所做的功. ,求此过程中拉力所做的功.

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解析：物体在水平面上移动过程中，拉绳的牵引力F 解析： 物体在水平面上移动过程中， 拉绳的牵引力 是恒力，但绳拉物体的力是变力(大小为 大小为F,方向是变化的， 是恒力，但绳拉物体的力是变力 大小为 ，方向是变化的， 所以是变力).从图1可知 物体从点A运动到点 的过程中， 可知， 运动到点B的过程中 所以是变力 .从图 可知，物体从点 运动到点 的过程中， 此变力使物体在水平方向移动时所做的功W, 此变力使物体在水平方向移动时所做的功 ，等效于恒力 F由位置 移到位置 时所做的功 F,即W变=WF=FLab= 由位置A移到位置 时所做的功W 由位置 移到位置B时所做的功 F(L1-L2)= =

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二、微元法 如果物体沿圆弧作曲线运动，力沿着物体运动(切线 切线) 如果物体沿圆弧作曲线运动， 力沿着物体运动 切线 方向时， 力的方向与位移方向同步变化， 方向时 ， 力的方向与位移方向同步变化 ， 可把整个过程 (圆周 分成无限多微元段， 先求力在每个微元段上的“ 元 圆周)分成无限多微元段 先求力在每个微元段上的“ 圆周 分成无限多微元段， 功”,然后求和(此时 为路程 . 此时S为路程 然后求和 此时 为路程).

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【例2】 】

马用大小为F=800 N的水平力，拉着碾子 马用大小为 = 的水平力， 的水平力

沿着半径为R= 的水平圆形晒场轨道的切线方向， 沿着半径为 =10 m的水平圆形晒场轨道的切线方向，匀 的水平圆形晒场轨道的切线方向 速运动一周，求拉力对碾子做的功. 速运动一周，求拉力对碾子做的功. 解析：马的拉力始终沿圆周的切线方向， 解析：马的拉力始终沿圆周的切线方向，故我们把圆 周均匀分割成N个微元段 足够大 ，每段位移为 ，则每 周均匀分割成 个微元段(N足够大 每段位移为 s, 个微元段 足够大), 一微元段 s上都可以认为马的拉力方向不变且与位移 方 一微元段 上都可以认为马的拉力方向不变且与位移 s方 上都可以认为马的拉力方向不变且与位移 向一致，因而在每一微元段上拉力做功W= 所以， 向一致，因而在每一微元段上拉力做功 =F s.所以，马 所以 拉 碾 子 一 周 拉 力 做 功 W = N W = FN s = F·2πR = 5.02×104 J. × 答案： 答案：5.02×104 J ×第二模块 必修2

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三、图象法 如果力F对位移的关系为线性时，或在F- 图中表示 如果力 对位移的关系为线性时，或在 -x图中表示 对位移的关系为线性时 力变化的图线与x轴围成图形的“ 面积”有公式可依时， 力变化的图线与 轴围成图形的“面积 ” 有公式可依时 ， 轴围成图形的 可画出F- 图象 图线与横轴所围成的“面积” 图象， 可画出 -x图象，图线与横轴所围成的“面积”在数值上 等于功的大小. 等于功的大小.

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【 例 3】 】

锤子打击木桩，如果锤每次以相同的动能 锤子打击木桩 ，

打击木桩，而且每次均有80%的能量传给木桩，且木桩所 的能量传给木桩， 打击木桩，而且每次均有 的能量传给木桩 受阻力F 与插入深度x成正比 成正比， 受阻力 f 与插入深度 成正比 ， 试求木桩每次打入的深度 若第一次打击使木桩插入了全长的1/3, 比 . 若第一次打击使木桩插入了全长的 ， 那么木桩全 部插入必须锤击多少次？ 部插入必须锤击多少次？

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解析： 由题知木桩受到的阻力Ff 为一与位移x成正比 解析： 由题知木桩受到的阻力 为一与位移 成正比 的变力， 我们可以做如图2所示的 所示的F 的变力 ， 我们可以做如图 所示的 f - x图 ， 用图象法求 图 图中“面积” ……表示第 表示第1、 …… 次锤击中， ……次锤击中 解. 图中“ 面积” S1、 S2…… 表示第 、2……次锤击中， 木桩克服阻力做的功，数值上等于锤传给

木桩的能量， 木桩克服阻力做的功，数值上等于锤传给木桩的能量，

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根据三角形面积与高的平方成正比， 设为 W0.根据三角形面积与高的平方成正比， 有 根据三角形面积与高的平方成正比2 x 2 ∶x 2 ∶x 3 ∶…∶x 2 = W0∶2W0∶3W0∶…∶nW0 , 则 1 2 n

x1∶x2∶x3∶…∶xn=1∶ 2∶ 3∶…∶ n,每次打入 ∶ ∶ ∶ , 深 度 x = xi + 1 - xi , 故 木 桩 每 次 打 入 的 深 度 比 为 x1∶ x2∶ x3∶…∶ xn = 1∶( ∶ 2 - 1)∶( ∶ 3 -

2)∶…∶( n- n-1).由上述比例关系可知，当 xn ∶ - - .由上述比例关系可知， l n =l 时，得 l = ,即 n=9(次). = 次. 1 3

答案： 次 答案：9次第二模块 必修2

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四、用动能定理求解 如果力的大小和方向同时变化， 如果力的大小和方向同时变化，物体受到除该变力以 外的其它力的功以及物体动能的变化均能求出时， 外的其它力的功以及物体动能的变化均能求出时，可用动 能定理求出这个变力所做的功. 能定理求出这个变力所做的功.

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【 例 4】 】

如图3所示 ， 光滑水平面AB与竖直平面内 如图 所示， 光滑水平面 与竖直平面内 所示

的半圆形导轨在点B衔接 ， 导轨半径为R.一个质量为 一个质量为m的 的半圆形导轨在点 衔接， 导轨半径为 一个质量为 的 衔接 静止物体在A处压缩弹簧， 静止物体在 处压缩弹簧，在弹力的作用下获得某一向右 处压缩弹簧 速度，当它经过B点进入导轨瞬间对导轨的压力为其重力 速度 ， 当它经过 点进入导轨瞬间对导轨的压力为其重力 的7倍，之后向上运动恰能完成半圆周运动到达 点，求： 倍 之后向上运动恰能完成半圆周运动到达C点 (1)弹簧对物体的弹力做的功； 弹簧对物体的弹力做的功； 弹簧对物体的弹力做的功 (2)物体从 点至 点阻力做的功. 物体从B点至 点阻力做的功. 物体从 点至C点阻力做的功 图3第二模块 必修2

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解析： 物体从到达点 解析： (1)物体从到达点 B 开始作圆周运 点时， 所示， 动，在 B 点时，受力如图 4 所示，由牛顿第二 定律， 定律，得 F1-mg=mv2 /R,所以 mv2 =(F1- = B , B mg)R=(7mg-mg)R=6mgR,故 EKB=mv2 /2 = - = , B =3mgR. 根据动能定理可得， 根据动能定理可得，弹簧弹开物体过程弹

图4力对物体所做的功为 W 弹=EKB-0=3mgR. =

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