《固体物理学》习题解答

黄昆 原着 韩汝琦改编

（陈志远解答，仅供参考）

第一章 晶体结构

、

解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc nV x =

（1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）

a=2r ， V=3r 3

4π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r 34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3

34a r 4a 3=

⇒= n=2, Vc=a 3 ∴68.083)r 334(r 342a r 342x 33

33≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒=

n=4，Vc=a 3

（4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯

=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯

n=1232

126112+⨯+⨯=6个

（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3

r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 3

、试证：六方密排堆积结构中633.1)3

8(a

c 2/1≈=

证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是：

NA=NB=NO=a=2R.

即图中NABO 构成一个正四面体。…

、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。

证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪

⎪=+⎨⎪

⎪=+⎪⎩

r r r r r r

r r r

由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ω

r r r

3

1230,

,22

(),

0,224

,,0

2

2a a a a a a a a a a Ω=⋅⨯==r r r

Q ，223,,,

0,()224,,0

2

2

i j k

a a a a a i j k a a ⨯==-++r r

r r r r r r 同理可得：232()

2()

b i j k a

b i j k a

ππ=-+=+-r r

r r r r r r 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相

同。

所以，面心立方的倒格子是体心立方。

（2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a i j k a a i j k a a i j k ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩

r

r r r r r r r r

r r r 由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ω

r r r 3123,,222

(),,2222

,,222

a a a a a a a a a a a a a -Ω=⋅⨯=-=-r r r Q ，223,,,,()2222,,222i j k a a a a a a j k a a a ⨯=-=+-r r r r r r r 同理可得：232()2()

b i k a b i j a

ππ=+=+r r r r r r 即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。 所以，体心立方的倒格子是面心立方。

、证明倒格子矢量112233G h b h b h b =++v v v v 垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。

证明：

因为33121323

,a a a a CA CB h h h h =-=-v v v v u u u r u u u r ，112233G h b h b h b =++v v v v 利用2i j ij a b πδ⋅=v v ，容易证明12312300

h h h h h h G CA G CB ⋅=⋅=u u u r v u u u r v 所以，倒格子矢量112233G h b h b h b =++v v v v 垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。

、对于简单立方晶格，证明密勒指数为(,,)h k l 的晶面系，面间距d 满足：22222()d a h k l =++，其中a 为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面密度

较大，容易解理。解：简单立方晶格：123a a a ⊥⊥r r v ，123,,a ai a aj a ak ===v v v v v v 由倒格子基矢的定义：2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯r r r r r r ，3121232a a b a a a π⨯=⋅⨯r r r r r r ，123123

2a a b a a a π⨯=⋅⨯r r r r r r 倒格子基矢：123222,,b i b j b k a a a πππ===v

v v v v v 倒格子矢量：123G hb kb lb =++v v v v ，222G h i k j l k a a a πππ=++v v v v 晶面族()hkl 的面间距：2d G π=v 222

1()()()h k l a a a

=++ 面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，单位表面的能量越小，这样的晶面越容易解理。

、画出立方晶格（111）面、（100）面、（110）面，并指出（111）面与（100）面、（111）面与（110）面的交线的晶向。

解：(111)

1、(111)面与(100)面的交线的AB ，AB 平移，A 与O 点重合，B 点位矢：B R aj ak =-+v v v ，

(111)面与(100)面的交线的晶向AB aj ak =-+u u u r v v ，晶向指数[011]。

2、(111)面与(110)面的交线的AB ，将AB 平移，A 与原点O 重合，B 点位矢：

B R ai aj =-+v v v ，(111)面与(110)面的交线的晶向AB ai aj =-+u u u r v v ，晶向指数[110]。

第二章 固体结合

、两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数（2ln 2=α）和库仑相互作用能，设离子的总数为2N 。

＜解＞ 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用r 表示相邻离子间的距离，于是有

(1)11112[...]234j ij r r r r r r

α

±'

==-+-+∑ 前边的因子2是因为存在着两个相等距离i r 的离子，一个在参考离子左面，一个

在其右面，故对一边求和后要乘2，马德隆常数为

234

(1)...34n x x x x x x +=-+-+Q l 当X=1时，有1111 (2234)

n -+-+=l 、若一晶体的相互作用能可以表示为

试求：（1）平衡间距0r ；

（2）结合能W （单个原子的）；

（3）体弹性模量；

（4）若取02,10,3,4m n r A W eV ====，计算α及β的值。

解：（1）求平衡间距r 0 由0)

(0

==r r dr r du ，有：

结合能：设想把分散的原子（离子或分子）结合成为晶体，将有一定的能量释放出来，这个能量称为结合能（用w 表示）

（2）求结合能w （单个原子的）

题中标明单个原子是为了使问题简化，说明组成晶体的基本单元是单个原子，而非原子团、离子基团，或其它复杂的基元。

显然结合能就是平衡时，晶体的势能，即U min 即：n m r r r U W 000)(βα

-+=-= （可代入r 0值，也可不代入） 1112[1...]234

α=-+-+22n α∴=l

（3）体弹性模量 由体弹性模量公式：0220209r r U V r k ⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛∂∂= （4）m = 2，n = 10，οA r 30=， w = 4eV ，求α、β 81

8105210⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=αβαβr ①

eV r r U W 454)(200==-=⇒α ②

将οA r 30=，J eV 1910602.11-⨯=代入①②

（1）平衡间距r 0的计算 晶体内能()()2m n N U r r r αβ=

-+ 平衡条件0

0r r dU dr ==，11000m n m n r r αβ++-+=，10()n m n r m βα-= （2）单个原子的结合能

01()2W u r =-，0

0()()m n r r u r r r αβ==-+，10()n m n r m βα-= （3）体弹性模量0202()V U K V V

∂=⋅∂ 晶体的体积3V NAr =，A 为常数，N 为原胞数目 晶体内能()()2m n N U r r r αβ=-+ 由平衡条件01120001()023m n V V U

N m n V r r NAr αβ++=∂=

-=∂，得0

0m n m n r r αβ= 体弹性模量009mn K U V =

（4）若取02,10,3,4m n r A W eV ====

10()n m n r m βα-=，1(1)()2m n m m n W n m βαα

--=- 1002

W r β=，20100[2]r W r βα=+ -95101.210eV m β=⨯⋅，1929.010eV m α-=⨯⋅

、bcc 和fcc Ne 的结合能，用林纳德—琼斯(Lennard —Jones)势计算Ne 在bcc 和fcc 结构中的结合能之比值． ＜解＞1261261()4()(),()(4)()()2n l u r u r N A A r r r r σσσσεε⎡⎤⎡⎤=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

、对于2H ，从气体的测量得到Lennard —Jones 参数为65010, 2.96.J A εσ-=⨯=o

计算fcc 结构的2H 的结合能[以KJ/mol 单位)，每个氢分子可当做球形来处理．结

合能的实验值为／mo1，试与计算值比较．

＜解＞ 以2H 为基团，组成fcc 结构的晶体，如略去动能，分子间按Lennard

—Jones 势相互作用，则晶体的总相互作用能为： 61214.45392;12.13188,ij ij j i

P P --''==∑∑16235010, 2.96, 6.02210/.

erg A N mol εσ-=⨯==⨯o

()()1262816 2.96 2.962602210/501012.1314.45 2.55/.3.16 3.16U U mol erg KJ mol -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯-≈-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦0将R 代入得到平衡时的晶体总能量为

。因此，计算得到的2H 晶体的结合能为2．55KJ ／mol ，远大于实验观察值／

mo1．对于2H 的晶体，量子修正是很重要的，我们计算中没有考虑零点能的

量子修正，这正是造成理论和实验值之间巨大差别的原因．

第三章 固格振动与晶体的热学性质

、已知一维单原子链，其中第j 个格波，在第n 个格点引起的位移为，sin(_)nj j j j j a t naq μωσ=+，j σ为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波

的平均能量为，具体计算每个原子的平方平均位移。

＜解＞任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即 sin()n nj j j j j j j

a t naq μμωσ==++∑∑ （1）

由于nj nj μμ⋅数目非常大为数量级，而且取正或取负几率相等，因此上式得第2项与第一项相比是一小量，可以忽略不计。所以22n nj j

μμ=∑

由于nj μ是时间t 的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为

02

22001

1sin()2

T j j j j j j a t naq dt a T μωσ=++=⎰ （2） 已知较高温度下的每个格波的能量为KT ，nj μ的动能时间平均值为

其中L 是原子链的长度，ρ使质量密度，0T 为周期。 所以221

142

nj j j T w La KT ρ== （3） 因此将此式代入（2）式有22

nj j

KT PL μω= 所以每个原子的平均位移为 22221n nj j j j j j

KT KT PL PL μμωω====∑∑∑ 、讨论N 个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a ），其2N 个格波解，当M = m 时与一维单原子链的结果一一对应。

解：质量为M 的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……；质量为m 的原子位于2n ， 2n+2， 2n+4 ……。

牛顿运动方程2221212121222(2)(2)

n n n n n n n n m M μβμμμμβμμμ+-+++=---=---&&&& N 个原胞，有2N 个独立的方程

设方程的解[(2)]

2[(21)]21i t na q n i t n aq n Ae Be ωωμμ--++==，代回方程中得到

A 、

B 有非零解，2222cos 02cos 2m aq aq M βωβββω--=--，则 两种不同的格波的色散关系12

22212222()4{1[1sin ]}()()4{1[1sin ]}()m M mM aq mM m M m M mM aq mM m M ωβωβ+

-+=+-++=--+

一个q 对应有两支格波：一支声学波和一支光学波.总的格波数目为2N.

当M m =时4cos 2

4sin 2aq m aq m βωβω+-==，

两种色散关系如图所示：

长波极限情况下0q →，sin(

)22qa qa ≈， (2)q m β

ω-=与一维单原子晶格格波的色散关系一致.

、考虑一双子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交错地为β和10β，两种原子质量相等，且最近邻原子间距为2a 。试求在0,q q a π==处的()q ω，并粗略画出色散关系曲线。此问题模拟如2H 这样的双原子分子晶体。

答：（1）

浅色标记的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……；深色标记原子位于2n ， 2n+2， 2n+4 ……。

第2n 个原子和第2n ＋1个原子的运动方程：

体系N 个原胞，有2N 个独立的方程 方程的解：1[(2)]221[(21)]221i t n aq n i t n aq n Ae Be

ωωμμ--++==，令221122/,/m m ωβωβ==，将解代入上述方程得： A 、B 有非零的解，系数行列式满足：

因为1ββ=、210ββ=，令2222012010,10c c m m

ωωωω====得到 两种色散关系：220(1120cos 101)qa ωω=±+

当0q =时，220(11121)ωω=±，0

220ωωω+-==

当q a π

=时，22

0(1181)ωω=±，00202ωωωω+-== （2）色散关系图：

、设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有20()q Aq ωω=-

求证：()1/20023/21(),4V f A

ωωωωωπ=-<;0()0,f ωωω=>. ＜解＞()11

222200000()0,0Aq f Aq q A ωωωωωωωωωω>-=>=<⇒-=⇒=-时，

依据()3()2,()()

2q q V ds q Aq f q ωωωπ∇=-=∇⎰r ，并带入上边结果有 、有N 个相同原子组成的面积为S 的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限比热正比与2T 。

证明：在k 到k dk +间的独立振动模式对应于平面中半径n 到n dn +间圆环的面积

2ndn π，且()22532222L s ndn kdk kdk d v ρωπρωωπππ===即则

()()2

3

3220

//2

22

22

333212121

m

D

D

B B x B B B B k T k T x D

D

d s k T s k T k T k T s d x dx

E E v e v e v e ωωωωρρρωωωωπππ⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭=

+==

---⎰

⎰

⎰

h h h h h h h h ， 、写出量子谐振子系统的自由能，证明在经典极限下，自由能为

0q B n q B F U k T k T ω⎛⎫

≅+ ⎪⎝⎭

∑h l

证明:量子谐振子的自由能为112q

B q

k T

B n q B F U k T e k T ωω-

⎡⎤

⎛⎫⎢⎥ ⎪=++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣

⎦

∑h h l 经典极限意味着（温度较高）BT g k ω?h 应用21...x e x x =-++ 所以2

1...q B q

q k T

B B e

k T k T ωωω-⎛⎫

=-++ ⎪⎝⎭

h h h

因此01112

q q q B n B n q

q

B B F U k T U k T k T k T ωωω⎛⎫⎛⎫

≅++-+

≅+ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭

∑∑h h h l l 其中01

2

q q

U U ω≅+∑h

、设晶体中每个振子的零点振动能为1

2

ωh ，使用德拜模型求晶体的零点振动能。 证明:根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故T=0K 时振动能0E 就是各振动模零点能之和。()()()0000

12

m

E E g d E ωωωωωω==⎰h 将和

()2

23

32s

V g v ωωπ=

代入积分有 4

02339168m m s V E N v ωωπ=

=h ，由于0

98

m B D B D k E Nk ωθθ==h 得 一股晶体德拜温度为~210K ，可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数百度所需热能相比拟．

、一维复式格子2415 1.6710,

4, 1.510/M

m g N m m

β-=⨯⨯==⨯4( 1.5110/),dyn cm ⨯即求

（1），光学波00max min ,ωω，声学波max A ω。

（2）相应声子能量是多少电子伏。

（3）在300k 时的平均声子数。

（4）与0max ω相对应的电磁波波长在什么波段。

＜解＞（1）

，131max 3.0010,A

s ω-===⨯ （2）161312max 161312max 161312min 6.5810 5.9910 1.97106.5810 6.7010 4.41106.5810 3.0010 3.9510A o o s eV

s eV s eV

ωωω---------=⨯⨯⨯=⨯=⨯⨯⨯=⨯=⨯⨯⨯=⨯h h h

（3）max max max max //110.873,0.22111A O B B A

O k T k T n n e e ωω=

===--h h （4）228.1c m πλμω==

第四章 能带理论 、根据k a π

=±状态简并微扰结果，求出与E -及E +相应的波函数ψ-及ψ+?，并说明它们的特性．说明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布2ψ说明能隙的来

源(假设n V =*n V )。 ＜解＞令k a π

=+，k a π

'=-，简并微扰波函数为00()()k k A x B x ψψψ=+

()00n V A E k E B '⎡⎤+-=⎣⎦ 取E E += 带入上式，其中0()n E E k V +=+

V(x)<0,0n V <,从上式得到B= -A,于是

0()()n n i x i x a a k k A x x e e ππψψψ-'+⎡⎤⎡⎤=-=-⎥⎣⎦⎦

n x a π 取E E -=，0()n E E k V -=- ,n n V A V B A B =-=得到

0()()n n i x i x a a k k A x x e e ππψψψ-'-⎡⎤⎡⎤=-=-⎥⎣⎦⎦

n x a π

由教材可知，+ψ及-ψ均为驻波． 在驻波状态下，电子的平均速度()k ν为零．产生驻波因为电子波矢n k a π=时，电子波的波长22a k n

πλ==，恰好满足布拉格发射条件，这时电子波发生全反射，并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同，所以对应不同代入能量。

、写出一维近自由电子近似，第n 个能带(n=1，2，3)中，简约波数2k a π=的0

级波函数。

＜解＞222

1()*

24()i mx i x i mx i m x ikx ikx a a a a k x e e ππππψ+===⋅=r

第一能带：*

20,0,()2i x a k

m m x a ππψ⋅===

第二能带：23

*222,,1,()x i x a a k b b b b m m x a a πππππψ''=→⋅=-=-∴=i i 2a 则即（e =e ）

第三能带：25*2222,,1,()i x i x i x a a a k c c m m x e a a πππππψ'→⋅===⋅=即 、电子在周期场中的势能．

()V x = 0 ， x na b ≤≤-当(n-1)a+b

其中d ＝4b ，ω是常数．试画出此势能曲线，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带度．

＜解＞(I)题设势能曲线如下图所示．

(2)势能的平均值：由图可见，()V x 是个以a 为周期的周期函数，所以

题设4a b =，故积分上限应为3a b b -=，但由于在[],3b b 区间内()0V x =，故只需在[],b b -区间内积分．这时，0n =，于是

22

2223

2111()()2236b b b

b

b b b b m m V V x dx b x dx b x x m b a a a ωωω----⎡⎤==-=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰。

（3），势能在[-2b,2b]区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数 利用积分公式()2232cos sin 2cos sin u u mudu mu mu mu mu m m =

+-⎡⎤⎣⎦⎰得 22316m b ωπ=1g E 第二个禁带宽度222,2g E V m ==以代入上式,代入上式

22

220()cos b g m x E b x dx b b ωπ=-⎰再次利用积分公式有2222m b ωπ=2g E

、

解：我们求解面心立方，同学们做体心立方。

（1）如只计及最近邻的相互作用，按照紧束缚近似的结果，晶体中S 态电子的能量可表示成：

在面心立方中，有12个最近邻，若取0m R =v ，则这12个最近邻的坐标是： ①(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0)2222a a a a ②(0,1,1),(0,1,1),(0,1,1),(0,1,1)2222a a a a ③(1,0,1)(1,0,1),(1,0,1),(1,0,1)2222

a a a a

由于S 态波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同，因此()S J R v 有相同

的值，简单表示为J 1=()S J R v 。又由于s 态波函数为偶宇称，即()()s s r r ϕϕ-=v v ∴在近邻重叠积分*()()()()()s i s s i J R R U V R d ϕξξϕξξ⎡⎤-=--⎣⎦⎰v v v v 中，波函数的贡

献为正

∴J 1＞0。

于是，把近邻格矢S R v 代入()s S E R v 表达式得到：

=()()()()2222

01x y x y x y x y a

a a a

i k k i k k i k k i k k S J J e e e e ε-+----+---⎡--+++⎢⎣ ()()()()2

2

2

2

y z y z y z y z a

a

a

a

i k k i k k i k k i k k e e e e -+----+---+++++

()()()()2

2

2

2

x z x z x z x z a

a

a

a

i k k i k k i k k i k k e

e

e

e

-+----+---⎤+++⎥⎦

=

012cos ()cos ()cos ()cos ()22

22

S x y x y y z y z a a a a J J k k k k k k k k ε⎧⎡

⎤

⎤⎡--++-+++-⎨⎢⎥⎥⎢⎦⎣

⎣

⎦

⎩

=014cos cos cos cos cos cos 222222s x y y z z x a a a a a a J J k k k k k k ε⎡⎤

--++⎢⎥⎣

⎦

（2）对于体心立方：有8个最近邻，这8个最近邻的坐标是：

、有一一维单原子链，间距为a ，总长度为N a 。求（1）用紧束缚近似求出原子s 态能级对应的能带E(k)函数。（2）求出其能态密度函数的表达式。（3）如果

每个原子s 态只有一个电子，求等于T=0K 的费米能级0F E 及0

F E 处的能态密度。

＜解＞010101(1),()()2cos 2cos ika ika s s E k J J e e J J ka E J ka εε-=--+=--=-r

(2) ,1121()2222sin sin L dk Na N

N E dE J a ka J ka

πππ=⨯

⨯=⨯=

(3), 00000

22()22222F

k F F F Nak Na N k dk k k a

πρππ=⋅=⋅⋅=∴=⎰r

、证明一个自由简单晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区一边中点大2倍．(b)对于一个简单立力晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区面心上大多少？(c)(b)的结果对于二价金属的电导率可能会产生什么影响7

＜解＞（a ）二维简单正方晶格的晶格常数为a ，倒格子晶格基矢

22ˆˆ,A i B j a a

ππ=

= 第一布里渊区如图所示

()222

2ˆˆˆ,.,2B x y z i B K i j a a a K K K m

πππε⎛⎫⎛⎫=

=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

=++h A 区边中点的波矢为K 角顶点的波矢为自由电子能量22

2222,222A x K m m a m a ππε⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

h h h A 点能量 ()222222222,222B x y K K m m a a m a πππε⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

h h h B 点能量所以/2B A εε=

b)简单立方晶格的晶格常数为a ，倒格子基矢为222ˆ

ˆˆ,,,A i B j C k a a a

π

ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

第一布里渊区如图7—2所示．

所以/3B A εε=

(c)如果二价金属具有简单立方品格结构，布里渊区如图7—2所示．根

据自由电子理论，自由电子的能量为()222

22x y z K K K m

ε=++h ，FerM 面应为球面．由(b)可知，内切于4点的内切球的体积

3

43

a π

π⎛⎫

⎪⎝⎭

，于是在K 空间中，