黄昆版固体物理学课后答案解析答案 (3)

时间：2025-04-26

《固体物理学》习题解答

黄昆原着韩汝琦改编

（陈志远解答，仅供参考）

第一章晶体结构

、

解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc nV x =

（1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）

a=2r ， V=3r 3

4π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r 34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3

34a r 4a 3=

⇒= n=2, Vc=a 3 ∴68.083)r 334(r 342a r 342x 33

33≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒=

n=4，Vc=a 3

（4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯

=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯

n=1232

126112+⨯+⨯=6个

（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3

r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 3

、试证：六方密排堆积结构中633.1)3

8(a

c 2/1≈=

证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是：

NA=NB=NO=a=2R.

即图中NABO 构成一个正四面体。…

、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。

证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪

⎪=+⎨⎪

⎪=+⎪⎩

r r r r r r

r r r

由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ω

r r r

1230,

,22

(),

0,224

,,0

2a a a a a a a a a a Ω=⋅⨯==r r r

Q ，223,,,

0,()224,,0

i j k

a a a a a i j k a a ⨯==-++r r

r r r r r r 同理可得：232()

2()

b i j k a

ππ=-+=+-r r

r r r r r r 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相

同。

所以，面心立方的倒格子是体心立方。

（2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a i j k a a i j k a a i j k ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩

r r r r r r r r

r r r 由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ω

r r r 3123,,222

(),,2222

,,222

a a a a a a a a a a a a a -Ω=⋅⨯=-=-r r r Q ，223,,,,()2222,,222i j k a a a a a a j k a a a ⨯=-=+-r r r r r r r 同理可得：232()2()

b i k a b i j a

ππ=+=+r r r r r r 即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。所以，体心立方的倒格子是面心立方。

、证明倒格子矢量112233G h b h b h b =++v v v v 垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。

证明：

因为33121323

,a a a a CA CB h h h h =-=-v v v v u u u r u u u r ，112233G h b h b h b =++v v v v 利用2i j ij a b πδ⋅=v v ，容易证明12312300

h h h h h h G CA G CB ⋅=⋅=u u u r v u u u r v 所以，倒格子矢量112233G h b h b h b =++v v v v 垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。

、对于简单立方晶格，证明密勒指数为(,,)h k l 的晶面系，面间距d 满足：22222()d a h k l =++，其中a 为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面密度

较大，容易解理。解：简单立方晶格：123a a a ⊥⊥r r v ，123,,a ai a aj a ak ===v v v v v v 由倒格子基矢的定义：2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯r r r r r r ，3121232a a b a a a π⨯=⋅⨯r r r r r r ，123123

2a a b a a a π⨯=⋅⨯r r r r r r 倒格子基矢：123222,,b i b j b k a a a πππ===v

v v v v v 倒格子矢量：123G hb kb lb =++v v v v ，222G h i k j l k a a a πππ=++v v v v 晶面族()hkl 的面间距：2d G π=v 222

1()()()h k l a a a

=++ 面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，单位表面的能量越小，这样的晶面越容易解理。

、画出立方晶格（111）面、（100）面、（110）面，并指出（111）面与（100）面、（111）面与（110）面的交线的晶向。

解：(111)

1、(111)面与(100)面的交线的AB ，AB 平移，A 与O 点重合，B 点位矢：B R aj ak =-+v v v ，

(111)面与(100)面的交线的晶向AB aj ak =-+u u u r v v ，晶向指数[011]。

2、(111)面与(110)面的交线的AB ，将AB 平移，A 与原点O 重合，B 点位矢：

B R ai aj =-+v v v ，(111)面与(110)面的交线的晶向AB ai aj =-+u u u r v v ，晶向指数[110]。

第二章固体结合

、两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数（2ln 2=α）和库仑相互作用能，设离子的总数为2N 。