排列组合二项式定理复习课

排列组合二项式定理

崇信一中 数学组 贾喆云

排列组合二项式定理

一、知识点复习1.两个原理的区别与联系： 两个原理的区别与联系：名称 内容

分类原理做一件事，完成它可以有 类办法 类办法， 做一件事，完成它可以有n类办法， 第一类办法中有m 种不同的方法， 第一类办法中有 1种不同的方法， 第二类办法中有m 种不同的方法…, 第二类办法中有 2种不同的方法 ， 类办法中有m 第n类办法中有 n种不同的方法， 类办法中有 种不同的方法， 那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+…mn 种不同的方法

分步原理做一件事，完成它可以有 个步骤 个步骤， 做一件事，完成它可以有n个步骤， 做第一步中有m 种不同的方法， 做第一步中有 1种不同的方法， 做第二步中有m 种不同的方法……, 做第二步中有 2种不同的方法 ， 做第n步中有 种不同的方法， 步中有m 做第 步中有 n种不同的方法， 那么完成这件事共有 N=m1·m2·m3·…·mn 种不同的方法 种不同的方法.

定 义

相同 点 不同 点

做一件事或完成一项工作的方法数直接(分类)完成 直接(分类) 间接(分步骤)完成 间接(分步骤)

排列组合二项式定理

2.排列和组合的区别和联系： 2.排列和组合的区别和联系： 排列和组合的区别和联系名称 定义 种数 符号 计算 公式 关系 性质m n

排

列

组

合

个不同元素中取出m个元 从n个不同元素中取出 个元 个不同元素中取出 按一定的顺序排成一列 素，按一定的顺序排成一列

个不同元素中取出m个元 从n个不同元素中取出 个元 个不同元素中取出 把它并成一组 素，把它并成一组

所有排列的的个数

所有组合的个数m Cn

A

m n

n! n ! An = n! m 0 n Cn = Cn = 1 A = m (n m)! ! (n m)! 0! =1

A =C A m m n An = nA Cn = Cn mm n m 1 n 1 m n m m

m m ,n+1 = Cn + Cn 1 Cm

排列组合二项式定理

3.二项式定理及其性质： 3.二项式定理及其性质： 二项式定理及其性质二项式定理： 二项式定理：r Tr +1 = Cn an rbr 通项公式： 通项公式： r 二项式系数： 二项式系数：C n0 n 1 n 1 2 n 2 2 r n r r n n a + b ) = Cn a + Cna b + Cn a b + + Cn a b + Cn b (n

f ( r ) = C nr 为函数研究性质) 二项式定理的性质： 为函数研究性质) 二项式定理的性质： (以n r 1)对称性： (1)对称性： = 2

为对称轴. 为对称轴.

n +1 为减函数； 为增函数. 为减函数；当 r < 时，f ( r ) = C n 为增函数 当 n 为 2 n 1 n 1 n 1 n +1 r 奇数时， 奇数时，= 2 或 2 ,f ( r ) 取得最大值 Cn 2 或Cn 2 ;当n 为 n

(2)增减性及其最大值：当 r > )增减性及其最大值：

n +1 r 时，f ( r ) = C n 2 r

偶数时， 偶数时，= n , ( r ) 取得最大值Cn2 . r f20 n 1 n

C (3)二项式系数和： + C + C + + C + + C = 2 )二项式系数和：2 n r n n n

n

排列组合二项式定理

二、应用举例1.特殊元素、特殊位置优先安排法 特殊元素、 特殊元素 年全国Ⅰ 位工作人员在5月 日 (06年全国Ⅰ文15)安排 位工作人员在 月1日 年全国 )安排7位工作人员在 日值班,每人值班一天 至5月7日值班 每人值班一天 其中甲乙二人都不安 月 日值班 每人值班一天,其中甲乙二人都不安 日和5月 日 不同的安排方法共有 不同的安排方法共有_______种 排5月1日和 月2日.不同的安排方法共有 2400 种 月 日和 (用数字作答 用数字作答) 用数字作答分析：先考虑5.1和5.2这两个特殊位置 这两个特殊位置， 分析：先考虑5.1和5.2这两个特殊位置，除甲乙两人外还 有五人，有 A52 种排法，5.3--5.7五天中，有 A55 种排法， 有五人， 种排法， 五天中， 种排法， 五天中 5 安排方法. 即共有种 A52 A5 安排方法

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

A

2 5

A

5 5

排列组合二项式定理

2.选排列问题(重复排列) 选排列问题(重复排列) 选排列问题 年全国Ⅱ (07年全国Ⅱ 文10) 5位同学报名参加两个课外 年全国 ) 位同学报名参加两个课外 活动小组，每位同学限报其中的一个小组， 活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不 同的报名方法共有( 同的报名方法共有( D) A.10种 B.20种 C.25种 D.32种 . 种 . 种 . 种 . 种分析：把握 谁选谁 每位同学都有两个小组可选， 谁选谁”, 分析：把握”谁选谁 ，每位同学都有两个小组可选，但 只能选一个小组，即每位学生选小组有两种方法， 只能选一个小组，即每位学生选小组有两种方法，利用 分步法， 种报名方法. 分步法，五位同学就有 2 5 种报名方法

2× 2× 2× 2× 2 = 2

5

排列组合二项式定理

3.相邻问题(捆绑法)不相邻问题(插空法) 3.相邻问题(捆绑法)不相邻问题(插空法) 相邻问题 (05年辽宁 年辽宁) (05年辽宁)用1、2、3、4、5、6、7、8 组成没有重复数字的八位数，要求1 相邻， 组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻， 相邻， 相邻， 不相邻， 3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样 576 八位数共有___________ .(用数字作答 ___________个 用数字作答) 的八位数共有___________个.(用数字作答)分析： 将1与2,3与4,5与6捆绑在一起排成一 分析： 3 2 2 2 A3 A2 A2 A2 = 48 种，再将7、8插入 个空位 再将7 插入4个空位 列有 中的两个有 2 中的两个有 A4 = 12 种，故有 48×12 = 576 种.< …… 此处隐藏：2112字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……