排列组合二项式定理

崇信一中 数学组 贾喆云

排列组合二项式定理

一、知识点复习1.两个原理的区别与联系： 两个原理的区别与联系：名称 内容

分类原理做一件事，完成它可以有 类办法 类办法， 做一件事，完成它可以有n类办法， 第一类办法中有m 种不同的方法， 第一类办法中有 1种不同的方法， 第二类办法中有m 种不同的方法…, 第二类办法中有 2种不同的方法 ， 类办法中有m 第n类办法中有 n种不同的方法， 类办法中有 种不同的方法， 那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+…mn 种不同的方法

分步原理做一件事，完成它可以有 个步骤 个步骤， 做一件事，完成它可以有n个步骤， 做第一步中有m 种不同的方法， 做第一步中有 1种不同的方法， 做第二步中有m 种不同的方法……, 做第二步中有 2种不同的方法 ， 做第n步中有 种不同的方法， 步中有m 做第 步中有 n种不同的方法， 那么完成这件事共有 N=m1·m2·m3·…·mn 种不同的方法 种不同的方法.

定 义

相同 点 不同 点

做一件事或完成一项工作的方法数直接(分类)完成 直接(分类) 间接(分步骤)完成 间接(分步骤)

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2.排列和组合的区别和联系： 2.排列和组合的区别和联系： 排列和组合的区别和联系名称 定义 种数 符号 计算 公式 关系 性质m n

排

列

组

合

个不同元素中取出m个元 从n个不同元素中取出 个元 个不同元素中取出 按一定的顺序排成一列 素，按一定的顺序排成一列

个不同元素中取出m个元 从n个不同元素中取出 个元 个不同元素中取出 把它并成一组 素，把它并成一组

所有排列的的个数

所有组合的个数m Cn

A

m n

n! n ! An = n! m 0 n Cn = Cn = 1 A = m (n m)! ! (n m)! 0! =1

A =C A m m n An = nA Cn = Cn mm n m 1 n 1 m n m m

m m ,n+1 = Cn + Cn 1 Cm

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3.二项式定理及其性质： 3.二项式定理及其性质： 二项式定理及其性质二项式定理： 二项式定理：r Tr +1 = Cn an rbr 通项公式： 通项公式： r 二项式系数： 二项式系数：C n0 n 1 n 1 2 n 2 2 r n r r n n a + b ) = Cn a + Cna b + Cn a b + + Cn a b + Cn b (n

f ( r ) = C nr 为函数研究性质) 二项式定理的性质： 为函数研究性质) 二项式定理的性质： (以n r 1)对称性： (1)对称性： = 2

为对称轴. 为对称轴.

n +1 为减函数； 为增函数. 为减函数；当 r < 时，f ( r ) = C n 为增函数 当 n 为 2 n 1 n 1 n 1 n +1 r 奇数时， 奇数时，= 2 或 2 ,f ( r ) 取得最大值 Cn 2 或Cn 2 ;当n 为 n

(2)增减性及其最大值：当 r > )增减性及其最大值：

n +1 r 时，f ( r ) = C n 2 r

偶数时， 偶数时，= n , ( r ) 取得最大值Cn2 . r f20 n 1 n

C (3)二项式系数和： + C + C + + C + + C = 2 )二项式系数和：2 n r n n n

n

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二、应用举例1.特殊元素、特殊位置优先安排法 特殊元素、 特殊元素 年全国Ⅰ 位工作人员在5月 日 (06年全国Ⅰ文15)安排 位工作人员在 月1日 年全国 )安排7位工作人员在 日值班,每人值班一天 至5月7日值班 每人值班一天 其中甲乙二人都不安 月 日值班 每人值班一天,其中甲乙二人都不安 日和5月 日 不同的安排方法共有 不同的安排方法共有_______种 排5月1日和 月2日.不同的安排方法共有 2400 种 月 日和 (用数字作答 用数字作答) 用数字作答分析：先考虑5.1和5.2这两个特殊位置 这两个特殊位置， 分析：先考虑5.1和5.2这两个特殊位置，除甲乙两人外还 有五人，有 A52 种排法，5.3--5.7五天中，有 A55 种排法， 有五人， 种排法， 五天中， 种排法， 五天中 5 安排方法. 即共有种 A52 A5 安排方法

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

A

2 5

A

5 5

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2.选排列问题(重复排列) 选排列问题(重复排列) 选排列问题 年全国Ⅱ (07年全国Ⅱ 文10) 5位同学报名参加两个课外 年全国 ) 位同学报名参加两个课外 活动小组，每位同学限报其中的一个小组， 活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不 同的报名方法共有( 同的报名方法共有( D) A.10种 B.20种 C.25种 D.32种 . 种 . 种 . 种 . 种分析：把握 谁选谁 每位同学都有两个小组可选， 谁选谁”, 分析：把握”谁选谁 ，每位同学都有两个小组可选，但 只能选一个小组，即每位学生选小组有两种方法， 只能选一个小组，即每位学生选小组有两种方法，利用 分步法， 种报名方法. 分步法，五位同学就有 2 5 种报名方法

2× 2× 2× 2× 2 = 2

5

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3.相邻问题(捆绑法)不相邻问题(插空法) 3.相邻问题(捆绑法)不相邻问题(插空法) 相邻问题 (05年辽宁 年辽宁) (05年辽宁)用1、2、3、4、5、6、7、8 组成没有重复数字的八位数，要求1 相邻， 组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻， 相邻， 相邻， 不相邻， 3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样 576 八位数共有___________ .(用数字作答 ___________个 用数字作答) 的八位数共有___________个.(用数字作答)分析： 将1与2,3与4,5与6捆绑在一起排成一 分析： 3 2 2 2 A3 A2 A2 A2 = 48 种，再将7、8插入 个空位 再将7 插入4个空位 列有 中的两个有 2 中的两个有 A4 = 12 种，故有 48×12 = 576 种.

空

1、2 、

空

3、4 、

空

5、6 、

空

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4.先选后排问题 4.先选后排问题 名同学合影， (08年安徽 )12名同学合影，站成前排 人后 年安徽12) 名同学合影 站成前排4人后 人中抽2人调整到前排 排8人，现摄影师要从后排 人中抽 人调

整到前排， 人 现摄影师要从后排8人中抽 人调整到前排， 若其他人的相对顺序不变， 若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总 数是 ( C )2 2 A .C 82 A66 B.C8 A3 C .C82 A62 D.C82 A52 C82 种选法， 分析：先在后排8人中任选两人到前排，共有 分析：先在后排 人中任选两人到前排， 种选法， 人中任选两人到前排 因其他人相对顺序不变， 因其他人相对顺序不变，则这两人在前排六个空位中 A62种排法，故有 C 82 A62 种. 任选两个坐上， 任选两个坐上，共有 种排法，

后排： 后排： 前排： 前排：

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5.顺序固定问题 除法” 5.顺序固定问题 (用“除法”)

(配练 页9题) 有4名男生，3名女生排成一排，其 配练72页 题 名男生， 名女生排成一排 名女生排成一排， 配练 名男生 女生从左到右的高矮顺序不变， 有排法( 中女生从左到右的高矮顺序不变，共有排法( D )A. A7 73 B. A7 3 C. A74 A7

D. A74

7 A7 种排法。其中 个 分析：先在7个位置上作全排列 个位置上作全排列， 种排法。其中3个 分析：先在 个位置上作全排列，有

女生因要求“从左到右高矮顺序不变” 女生因要求“从左到右高矮顺序不变”排，只有一种顺序 3 A3 种排法，所以用 故只对应一种排法， 种排法， 故只对应一种排法，但3个女生对应 个女生对应 除法. 除法

A = A74 种. 所以共有 A

7 7 3 3

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是 (C )

x 1 + 的展开式中 x 2 的系数 年全国Ⅰ (08年全国Ⅰ文3) 2 年全国 )

6.二项式定理的应用 6.二项式定理的应用

5

A. 10分析：可设 x 分析：2

B. 5

5 C. 25

D. 1

x 项为 1 + 的 T r + 1 项；即有 2 r r 5

∴

x Tr +1 = C = 2 r C5r x r ∴ r 2 5 2 x 1 + 展开式中 x 的系数为 2

=2

5 2 C =2 C = 2 r r 5 2 2 5

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三、课堂练习： 课堂练习：(1 x ) 4 (1 + x ) 4 的展开式中 x 年全国Ⅱ (08年全国Ⅱ 文9) 年全国 )

的系数是( 的系数是( A) A . 4 B. 3 .

C.3 .

D.4 .

年全国Ⅱ 名男同学， 名女同学中 (08年全国Ⅱ 文14)从10名男同学，6名女同学中 年全国 ) 名男同学 名参加体能测试， 选3名参加体能测试，则选到的 名同学中既有男 名参加体能测试 则选到的3名同学中既有男 同学又有女同学的不同选法共有 种(用数字作 答)3 3 3 C16 C10 C6 = 420

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四、课堂小结本节课我们主要复习了排列组合及二项 式定理的知识点， 式定理的知识点，并通过实例进一步巩固了 排列组合及二项式定理的常见解题策略； 排列组合及二项式定理的常见解题策略；还 有几种常见的题型， 有几种常见的题型，我们将在解决配套练习 时逐一讲解。 时逐一讲解。

五、

布置作业 1.课本 课本132页14、15题及 组1题； 页 、 题及B组 题 课本 题及 2.继续完成配练相应练习。 继续完成配练相应练习。 继续完成配练相应练习

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