概率思想在数学证明和计算中的应用

概率论在数学中的应用

第３７卷第１３期

２００７年７月数学的实践与认识ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＩＮＰＲＡＣＴＩＣＥＡＮＤＴＨＥｏＲＹｖ０１．３７Ｎｏ．１３

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概率思想在数学证明和计算中的应用

卓泽强

（北京石油化工学院数理系．北京１０２６１７）

摘要：通过多个典型寅例ｉ兑明了古典概型、概率密度函数、分布函数、ｃａｕｃｈｙｓｃｈ州ｚ不等式、ｃｈｅｂｅＢｈｅｖ不等

式、数字特征等在数学证明和计搏巾枘应用．提出了班概串沦教学巾对概黜想在数学证明和计算中的应用应加以介绍，

关键词，概率思想；随机变景－概率密度两数

文献［１］［２］讨论了如何利用ｒ函数及广义积分等数学方法来解决概率论中的问题．其实。同样可以利用概率方法来解决数学中的一些问题，并且比较简便．本文通过一些典型的例子说明了古典概型、概率密度函数、分布函数、ｃａｕｃｈｙ—ｓｃｈｗａｒｚ不等式、ｃｌｌｃｂｃｓｈｅｖ不等式、数字特征等在数学证明和计算中的应用，这种利刚概率思想来证明和计算数学问题的方法在平时的教学中应加以介绍．

１古典概型在排列组合恒等式证明中的应用

例ｌ证明ｖ。∈Ⅳ，恒有奎Ｅ２，ｄ了１＝ｑ州，其中『尘≠］祥的整数部分．

费雩望乩例ｃ‰“证明将等式变形为

该式左端各项的分母相应的概率模型为从孙＋１个对象中任取ｎ个；由分子的特点知孙＋１个对象中有两两相同的，据此构造如下模型；

现有２”＋１个人，其中有”对夫妻和一个单身汉，他们代表一＋１的不同家庭，现从中任取”个人组成一个兴趣小组．记』４。＝｛取出”个人中，有＾家没有全家参加｝，女＝Ｏ，”．“没有全家参加”是指“每个家庭中有且只有１人参加，单身汉１人参加即为全家参加”．这样Ａ，Ａ１．．．．．Ａ。构成样本空间的一个划分，且

尸（一．）＝∑瓮斗，女＝ｏ．１，…，＂．ｒ１。９‘ｒ阿］

由不相容事件概率性质知，Ｐ（Ａｏ）十尸（Ａ．）＋…＋尸（Ａ。）一ｌ，等式得证．

注ｒ本例来源于１９９４年中国数学奥林匹克竞赛试题．利用排列组合的性质可以证明，但较为复杂，利用古典概型证明较为简洁，更多的例子可参见［３］．收稿日期一２００５一ｌｚ—ｚ９

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１３期卓泽强：概率思想在数学证明和计算中的应用１９１

圣（。）：广——三：。一；出，。∈Ｒ，Ｊ一曲’，ＺＦ

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注４本题直接用高等数学的方法很难得到结果．而用标准正态分布函数的性质圣＠）≈１。（ｚ＞３．９），垂（ｏ）＝Ｏ．５。可以简化计算．

３概率思想在不等式证明中的应用．

３，１利用关千随机变量的ｃａｕｃｈｙ—ｓｃｈｗ”ｚ不等式［ｓ］证明

例５设函数，ｏ）。ｇ（ｚ）为区间■，６］上的可积函数，则：

［ｆ厂ｃｚ，ｇｃｚ，ａｚ］２≤（ｆ户ｃｚ）ａｚ）（ｆ９２ｃｚ，ａｚ）

证明设连续型＾ｎｘ的概率密度函数为

州一｛寺’：纛：，

ｙ。＝，（ｘ），ｙ２＝ｇ（ｘ）为ｒ．Ｖｘ的函数，则

Ｅ（ｙ以）；吉』：，（ｚ）ｇ（划ｚ．Ｅ（Ⅳ）＝士ｐ（蒯ｚ；Ｅ（ｙ，ｙ。）５吉Ｊ。，（ｚ）ｇ（划２；Ｅ（＿２）５南Ｊ／Ｙ神妇５

Ｅ（明）。志Ｊ。旷（ｚ）８。－

由ｃａｕｃｈｙ—Ｓｃｈｗａｒｚ不等式可知：

［ｆ，ｃｚ，ｇ（ｚ）ａｚ］２≤（ｆ尸（ｚ）ｄｚ）（』＝９２（ｚ）ｄｚＪ．

３．２利用切比雪夫（ｃｈｅｂｅｓｈｅｖ）不等式证明

例６设Ｈ∈Ⅳ，Ｖ例６设Ｈ∈Ⅳ，ｖＥ＞ｏ，证明；Ｅ＞ｏ，证明；‘茧１碟∥（１一ｐ）一一－＋型掣≥１．∑碟矿（１一ｐ）一十。２ｊｒ。２ｌ

证明将不等式变形为

譬１ｃ以ｌ一∥一≥１一生芝掣．∑ｃ∥（１一户）”‘≥１一型旦丁型．

这与概率论中的切比雪夫（ｃｈｅｂｅｓｈｅｖ）不等式有点类似，放下面利用它来证明．设随机变量ｘ～６（ｎ，ｐ），则Ｅ（ｘ）辞一ｐ，Ｄ（ｘ）一ｎｐ（１一ｐ）．由切比雪夫不等式尸｛Ｉｘ—Ｅ（ｘ）Ｉ＜。｝≥１一挈得

所蛆警３ｅ∥（１一户）扩 ＋型掣薹｛。Ｐ｛ｎ声一￡＜ｘ＜ｎｐ＋ｓ｝＝‘差，ｅ矿（１一户）一‘≥１一型掣，Ｐ（ｎｐ一￡＜ｘ＜ｎｐ＋ｓ｝＝∑ｅ矿（１一户）一≥１—３２２ｉ丁土二，

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被引用次数：卓泽强， ZHUO Ze-qiang北京石油化工学院数理系,北京,102617数学的实践与认识MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORY2007，37(13)0次

参考文献(5条)

1.徐传胜.傅尊伟 概率问题中的某些积分技巧[期刊论文]-高等数学研究 …… 此处隐藏：2686字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……