数字信号处理习题答案

数字信号处理习题解答

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第1章 时域离散信号与时域离散系统2. 给定信号： 2n+5 -4≤n≤-1 0≤n≤4 x(n)= 6 0 其它 (1) 画出x(n)序列的波形， 标上各序列值； (2) 试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列； (3) 令x1(n)=2x(n-2), 试画出x1(n)波形； (4) 令x2(n)=2x(n+2), 试画出x2(n)波形； (5) 令x3(n)=x(2-n), 试画出x3(n)波形。 解： (1) x(n)序列的波形如题2解图(一)所示。 (2) x(n)=-3δ(n+4)-δ(n+3)+δ(n+2)+3δ(n+1)+6δ(n) +6δ(n-1)+6δ(n-2)+6δ(n-3)+6δ(n-4)

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第1章 时域离散信号与时域离散系统(3) x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位，再乘以2, 画出图形如题2解图 (二)所示。 (4) x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，再乘以2, 画出图形如题2解图 (三)所示。 (5) 画x3(n)时， 先画x(-n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴为中心翻转 180°), 然后再右移2位， x3(n)波形如题2解图(四)所示。

题2解图(一)

题2解图(二)

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第1章 时域离散信号与时域离散系统

题2解图(三)

题2解图(四)

3. 判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。 3 (1) x(n) A cos πn A是常数 8 7 3 2π 14 , 这是有理数， 因此是周 解： (1) 因为ω= π, 所以 3 7 期序列， 周期T=14

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第1章 时域离散信号与时域离散系统5. 设系统分别用下面的差分方程描述， x(n)与y(n)分别表示系统输入和 输出， 判断系统是否是线性非时变的。 (1)y(n)=x(n)+2x(n-1)+3x(n-2)

解： (1) 令输入为 x(n-n0) 输出为 y′(n)=x(n-n0)+2x(n-n0-1)+3x(n-n0-2) y(n-n0)=x(n-n0)+2x(n—n0—1)+3(n-n0-2) =y′(n) 故该系统是非时变系统

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第1章 时域离散信号与时域离散系统因为y(n)=T[ax1(n)+bx2(n) =ax1(n)+bx2(n)+2[ax1(n-1)+bx2(n-1)]+3[ax1(n-2)+bx2(n-2)] a T[x1(n)]=ax1(n)+2ax1(n-1)+3ax1(n-2) bT[x2(n)]=bx2(n)+2bx2(n-1)+3bx2(n-2) 所以 T[ax1(n)+bx2(n)]=aT[x1(n)]+bT[x2(n)] 故该系统是线性系统。

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第1章 时域离散信号与时域离散系统6. 给定下述系统的差分方程， 试判定系统是否是因果稳定系统， 并 说明理由。 (2) y(n)=x(n)+x(n+1) 解： 该系统是非因果系统， 因为n时间的输出还和n时间以后((n+1) 时间)的输入有关。如果|x(n)|≤M, 则|y(n)|≤|x(n)|+|x(n+1)|≤2M, 因此 系统是稳定系统。 7. 设线性时不变系统的单位脉 冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7 图所示， 要求画出y(n)输出的波 形。题7图

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第1章 时域离散信号与时域离散系统解： 解法(一)采用列表法。

y(n)=x(n)*h(n) =

m

x(m)h(n-m)

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第1章 时域离散信号与时域离散系统y(n)={-2,-1,-0.5, 2, 1, 4.5, 2, 1; n=-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} 解法(二) 采用解析

法。 按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式分别为 x(n)=-δ(n+2)+δ(n-1)+2δ(n-3) h(n)=2δ(n)+δ(n-1)+ δ(n-2)

由于x(n)*δ(n)=x(n) x(n)*Aδ(n-k)=Ax(n-k) 故 y(n)=x(n)*h(n) =x(n)*[2δ(n)+δ(n-1)+ δ(n-2) =2x(n)+x(n-1)+x(n-2) 将x(n)的表示式代入上式， 得到 y(n)=-2δ(n+2)-δ(n+1)-0.5δ(n)+2δ(n-1)+δ(n-2) +4.5δ(n-3)+2δ(n-4)+δ(n-5)

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第1章 时域离散信号与时域离散系统8. 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况， 分别求出输出y(n)。 (1) h(n)=R4(n), x(n)=R5(n) (2) h(n)=2R4(n), x(n)=δ(n)-δ(n-2) (3) h(n)=0.5nu(n), xn=R5(n) 解： (1) y(n)=x(n)*h(n)=

m

R4(m)R5(n-m)

先确定求和域。 由R4(m)和R5(n-m)确定y(n)对于m的非零区间如下: 0≤m≤3 n-4≤m≤n 根据非零区间， 将n分成四种情况求解：

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第1章 时域离散信号与时域离散系统① n<0时， y(n)=0

② 0≤n≤3时， y(n)=③ 4≤n≤7时， y(n)= ④ n>7时， y(n)=0

m 0 3

1=n+11=8-n

n

m n 4

题8解图(1)

题8解图(2)

最后结果为 0 n<0或n>7 y(n)= n+1 0≤n≤3 8-n 4≤n≤7 y(n)的波形如题8解图(1)所示。 (2) y(n) =2R4(n)*[δ(n)-δ(n-2)]=2R4(n)-2R4(n-2) = 2[δ(n)+δ(n-1)-δ(n+4)-δ(n+5) y(n)的波形如题8解图(2)所示

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第1章 时域离散信号与时域离散系统(3) y(n)=x(n)*h(n) = =0.5n

m

R (m)0.55

n-mu(n-m)

m

R5(m)0.5-mu(n-m)

y(n)对于m 的非零区间为 0≤m≤4, ① n<0时， y(n)=0 ② 0≤n≤4时， m≤nn

y (n) 0.5

m 0

0.5

n

m

1 0.5 n 1 1 0.5 1

=-(1-0.5-n-1)0.5n=2-0.5n

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第1章 时域离散信号与时域离散系统③ n≥5时

y(n) 0.5

n

m 0

0.5

4

m

1 0.5 5 n n 0 . 5 31 0 . 5 1 0.5 1

最后写成统一表达式：

y(n)=(2-0.5n)R5(n)+31×0.5nu(n-5)

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第1章 时域离散信号与时域离散系统13. 有一连续信号xa(t)=cos(2πft+j), 式中， f=20 Hz, j=π/2 (1) 求出xa(t) a (t ) (2) 用采样间隔T=0.02 s对xa(t)进行采样， 试写出采样信号x a (t )的时域离散信号(序列)x(n)的波形， 并求出x(n)的周期。 (3) 画出对应x 解： (1) xa(t)的周期为 a (t ) (2) x n

T

cos(2πfnT j ) (t nT ) cos(40πnT j )δ(t nT )2π 5 , 因而周期N=5, 所以 2n

1 0.05 s f

(3) x(n)的数字频率ω=0.8π, 故 x(n)=cos(0.8πn+π/2) 画出其波形如题13解图所示。

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第1章 时域离散信号与时域离散系统

题13解图

14. 已知滑动平均滤波器的差分方程为

1 y (n) ( x(n) x(n 1) x(n 2) x(n 3) x(n 4)) 5

(1) (2) 如果输入信号波形如题14图所示，试求出y(n)并画出它的波形。

解：

(1) 将题中差分方程中的x(n)用δ(n)代替， 得到该滤波器的单位脉冲响应， 即

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第1章 时域离散信号与时域离散系统1 h(n) [ (n) δ(n 1) δ(n 2) δ(n 3) δ(n 4)] 5(2) 已知输入信号， 用卷积法求输出。 输出信号y(n)为

y ( n)

表1.4.1表示了用列表法解卷积的过程。 计算时， 表 中x(k)不动， h(k)反转后变成h(-k), h(n-k)则随着n 的加大向右滑动， 每滑动一次， 将h(n-k)和x(k)对 应相乘， 再相加和平均， 得到相应的y(n)。 “滑动 平均”清楚地表明了这种计算过程。 最后得到的输

k

x ( k ) h( n k )

出波形如前面图1.3.2所示。 该图清楚地说明滑动平均滤波器可以消除信号中的快速变化， 使波形变化 缓慢。题14图