2013高等数学竞赛习题西南习题2、3

习题（三）

练习3—1 1、填空题

e2x,x 0f(x) /

ln(1 2x) cosx,x 0，则f(0) （1）设

（2）曲线y x上(1,1)点处的切线方程为

（3）设质点作直线运动，其速度v和时间t的关系为v v(t)，则在时刻t的

瞬时加速度为

（4）设化学反应中物质的浓度N和时间t的关系为N N(t)，则在时刻t该物质的瞬时反应速度为

3

y x x 2上某点处的切线方程为y kx，则常数k （5）设曲线

2、选择题

23

x,x 1f(x) 3

2 x,x 1在x 1处 （ ） （1）函数

(A) 左导数存在，右导数存在 B 左导数存在，右导数不存在

(C) 左导数不存在，右导数不存在 D 左导数不存在，右导数存在 （2）曲线y lnx上点（1，0）处的切线与x轴的交角为 （ ） (A) π/2 B π/3 (C)π/4 D π/6

f(1) f(1 x)lim 1

f(x)( , )x 02x（3）设周期为4的函数在内可导，，则

曲线y f(x)在点(5,f(5))处的切线的斜率为 （ ）

1

(A) 2 B 0 (C) 1 D 2 （4）若f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处 （ ） (A)必可导 B 连续但不一定可导 (C)一定不可导 D 不连续

eax,x 0f(x)

sin3x b,x 0 在x 0处可导，（5）若 则常数a,b的值应为（ ）

(A) a 1， b 1 B a 3 ，b 1 (C) a 1 ，b 1 D a 2，b 1

/

（6）设 f(x)满足f(x 1) af(x)，且f(0) b，其中a,b为非零常数， /

则f(1)= （ ）

(A) a B b (C) ab D 0

1

xarctan,x 0f(x) x

0,x 0 在点x 0处的连续性与可导性。 3、讨论

练习3—2

1、求下列函数的微分

472y 123254y x 3x 4x 5xxx（1） （2）

3xx

（3）y 5x 2 3e （4）y 2tanx secx 1 （5）y lnx 2lgx 3log2x （6）y sinxcosx

2、求下列函数的导数

2x

y xlnxy 3ecosx （1） （2）

sinx

x （3）y (2 3x)(4 7x) （4）

1 sinty 2

1 cost （5）y xlnxcosx （6）

y

xy/

3、设f(x)对任意实数x，y满足f(x y) ef(y) ef(x)，且f(0) e， 证明 f(x)处处可微。

练习3—3 1、填空题

（1）设f(x)在点x0处可导，则h 0

lim

f(x0 3h) f(x0 2h)

h /

（2）设 (x)是单调连续函数f(x)的反函数，且f(2) 4，f(2) 5，/

则 (4)

1

/

x，则y （3）设

1

f(t) limt(1 )2tx/

x x，则f(t) （4）设

y e

tan

1x

sin

cosx

y (sinx)（5）设；则dy

x 1

sin(xy) ln 1/

y y(x)y（6）设由确定，则y(0)

2

x arcsintdy

2y ty y(x)（7）设函数由参数方程 所确定，则dx

x etsin2t

ty ecost在点(0,1)处的法线方程为 。 （8）曲线

x 3t2 2tdy y

（9）设函数y y(x)由参数方程 y esint 1所确定，则dx

2/

f(x) sin2xf（10）设，则(2x) 。

t 0

h(x)

（11）设f(x) log (x)，

3x 2dyy f()/2x 0 f(x) arcsinx3x 2，（12）已知，则dx

2、选择题

x f(t) 1 3t

y y(x)（1）若函数由参数方程 y f(e 1)确定，其中f(t)为可导函数，

(0) /(0) 2,h/(0)

1

/

2，则f(0)

dy

t 0

且f(0) 0，则dx （ ）

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

/

sin2xcos2xy /

1 cotx1 tanx，则y （ ） （2）设

(A) cosx (B) cosx (C) co2sx (D) co2sx

x/

y xy（3）设，则 （ ）

x

(A) xxxx(lnx 1)lnx xx 1 (B) xxxx(lnx 1)lnx xx 1 xx

(C) xxxx(lnx 2)lnx xx 1 (D) xxxx(lnx 1)lnx xx

23

（4）设曲线y x ax b与2y xy 1都经过点(1, 1)，且在点(1, 1)处有公共切线，其中a,b是常数，则 （ ）

x

x

(A) a 0 ，b 2 (B) a 1 ，b 3 (C) a 3，b 1 (D) a 1，b 1

dy

（5）设y f(e)，f(x) lnx，则dx （ ） (A) 3xe3x (B) 9xe3x (C) 3x (D) 9e3x

1 2

xsin,x 0f(x) x

3/ x,x 0f 3、设，讨论(x)的连续性。

4、求下列函数的导数

3x

/

x2a22y x a ln(x x2 a2)

22（1）

2

（2）y f(tanx) f(sinx)，其中f(x)为可导函数。 练习3—4 1、填空题

(5)2

（1）设f(x) xsinx，则f(0)

(n 1)

(x) （2）设f(x) x(x 1)(x 2) (x n)，其中n为正整数，则f

(n)

（3）设f(x) xlnx，则当n为大于1的正整数时，f(x)

x99

f(x) (99)

f(x) 1 x（4）设，则

2、选择题

/

（1）设函数f(x) xx，则f(x)在点x 0处 （ ） (A) 不连续，不可导 (B) 不连续，可导

(C) 连续，不可导 (D) 连续，可导

///

ff(x) 0f( x) f(x)( x )( ,0)（2）设，，又在内，(x) 0，

则在(0, )内有 （ ）

(A)f/(x) 0，f//(x) 0 B f/(x) 0，f//(x) 0 (C)f/(x) 0，f//(x) 0 D f/(x) 0，f//(x) 0

/

（3）已知函数f(x)具有任意阶导数，且f(x) f(x) ，则当n为大于2

(n)

的正整数时，f(x)的n阶 …… 此处隐藏：6256字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……